9. (2024·海安期中)已知点$(-1,y_{1})$，$(4,y_{2})$，$(-3,y_{3})$都在抛物线$y=ax^{2}-4ax+c(a＜0)$上，则
( )
A. $y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$
B. $y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
C. $y_{3}＜y_{2}＜y_{1}$
D. $y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$

D

10. 如图,若抛物线$y=ax^2+bx+c$上的$P(4,0)$,$Q$两点关于它的对称轴直线$x=1$对称,则点$Q$的坐标为______.

$(-2,0)$

11. 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的一边AB在x轴上,顶点B在x轴正半轴上.若抛物线$y=x^2 -5x +4$经过点C,D,点D的坐标为$(0,4)$,则点B的坐标为______.

$(2,0)$

12. 如图,抛物线经过点$A(-3,0),B(0,3)$,且其对称轴为直线$x=-1$.
（1）求此抛物线对应的函数解析式；
（2）若$P$是抛物线上点$A$与点$B$之间的动点(不包括点$A,B$),求$△ PAB$面积的最大值,并求出此时点$P$的坐标.

解: （1）由题意，可设此抛物线对应的函数解析式为$y = a(x + 1)^{2}+c。$ 将$A(-3,0)，$$B(0,3)$代入，得$\begin{cases}4a + c = 0\\a + c = 3\end{cases}，$ 用$4a + c = 0$减去$a + c = 3$可得： $(4a + c)-(a + c)=0 - 3，$ $4a + c - a - c=-3，$ $3a=-3，$解得$a = -1。$ 把$a = -1$代入$a + c = 3，$得$-1 + c = 3，$解得$c = 4。$ $\therefore$此抛物线对应的函数解析式为$y = -(x + 1)^{2}+4=-x^{2}-2x + 3。$ （2）设直线$AB$对应的函数解析式为$y = kx + b。$ 将$A(-3,0)，$$B(0,3)$代入，得$\begin{cases}-3k + b = 0\\b = 3\end{cases}，$ 把$b = 3$代入$-3k + b = 0，$得$-3k+3 = 0，$ 移项可得$3k = 3，$解得$k = 1。$ $\therefore y = x + 3。$ 过点$P$作$PQ\perp x$轴于点$Q，$交直线$AB$于点$M。$ 设点$P$的坐标为$(x,-x^{2}-2x + 3)(-3\lt x\lt0)，$则点$M$的坐标为$(x,x + 3)。$ $\therefore PM=-x^{2}-2x + 3-(x + 3)=-x^{2}-3x。$ $\therefore S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}(-x^{2}-3x)\times3=-\frac{3}{2}(x+\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{8}。$ 当$x = -\frac{3}{2}$时，$S_{\triangle PAB}$最大，为$\frac{27}{8}，$ 此时点$P$的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})。$ ;

13.（新视角·新定义题）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如$A(-2,-6)$，$B(0,0)$，$C(1,3)$等都是“三倍点”.已知二次函数$y=-x^2 - x + c$（$c$为常数）.
（1）若记“三倍点”$D$的横坐标为$t$，则点$D$的坐标可表示为______（用含$t$的代数式表示）.
（2）若该函数图象经过点$(1,-6)$.
① 求出该函数图象上的“三倍点”坐标；
② 当$-3≤ x≤ 1$时，记二次函数$y=-x^2 - x + c$的最大值为$M$，最小值为$N$，求$M - N$的值.

$(t,3t)$ ; 解: （2）①$\because$函数图象经过点$(1,-6)，$ $\therefore -6=-1 - 1 + c，$ 移项可得$c=-6 + 1 + 1=-4。$ $\therefore y=-x^{2}-x - 4。$ 设函数图象上的“三倍点”坐标为$(t,3t)。$ $\therefore 3t=-t^{2}-t - 4，$ 移项得$t^{2}+4t + 4 = 0，$ 根据完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}，$这里$a=t，$$b = 2，$则$(t + 2)^{2}=0，$ 解得$t_{1}=t_{2}=-2。$ $\therefore$函数$y=-x^{2}-x - 4$图象上的“三倍点”坐标为$(-2,-6)。$ ②$\because y=-x^{2}-x - 4=-(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{15}{4}，$且$-3\leqslant x\leqslant1，$ $\therefore$当$x = -\frac{1}{2}$时，$y$取最大值，即$M = -\frac{15}{4}。$ 又$\because$当$x = -3$时，$y=-(-3)^{2}-(-3)-4=-9 + 3 - 4=-10；$ 当$x = 1$时，$y=-1 - 1 - 4=-6，$ $\therefore N = -10。$ $\therefore M - N=-\frac{15}{4}-(-10)=-\frac{15}{4}+10=\frac{-15 + 40}{4}=\frac{25}{4}。$