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12.(8分)(2024·靖江月考)已知关于x的方程$x^2 - 2mx + m^2 - n = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求n的取值范围；
(2)若n为符合条件的最小整数,且该方程的较大根是较小根的2倍,求m的值.
(1)求n的取值范围；
(2)若n为符合条件的最小整数,且该方程的较大根是较小根的2倍,求m的值.
答案
解：$(1)$∵关于$x$的方程$x^2 - 2mx +\mathrm {m^2} - n = 0$有两个不相等的实数根， ∴$(-2m)^2 - 4(\mathrm {m^2} - n)=4\ \mathrm {m^2} - 4\ \mathrm {m^2} + 4n＞0，$∴$n＞0。$$ (2)$∵$n$为符合条件的最小整数，$n＞0，$∴$n = 1，$ ∴原方程为$x^2 - 2mx +\mathrm {m^2} - 1 = 0。$$ $设该方程的根是$a，$$2a，$ ∴$a + 2a = 2m，$$a·2a =\mathrm {m^2} - 1，$$ $由$a + 2a = 2m $得$3a = 2m，$$a=\frac {2m}{3}，$$ $将$a=\frac {2m}{3}$代入$a·2a =\mathrm {m^2} - 1$得：$\frac {2m}{3}×2×\frac {2m}{3}=\mathrm {m^2} - 1，$$ \frac {8\ \mathrm {m^2}}{9}=\mathrm {m^2} - 1，$$8\ \mathrm {m^2} = 9\ \mathrm {m^2} - 9，$$\mathrm {m^2} = 9，$解得$m = \pm 3。$$ $当$m = 3$时，$a = 2，$两根为$2，$$4；$当$m = -3$时，$a = -2，$两根为$-2，$$-4($不合题意，舍去）， ∴$m $的值为$3。$
13.(8分)已知$□ ABCD$的两边$AB$,$AD$的长是关于$x$的方程$x^2 - ax + a - 1 = 0$的两个实数根.
(1)若$AB$的长为$2$,则$AD$的长是多少?
(2)当$a$为何值时,四边形$ABCD$是菱形?求出此时菱形的周长.
(1)若$AB$的长为$2$,则$AD$的长是多少?
(2)当$a$为何值时,四边形$ABCD$是菱形?求出此时菱形的周长.
答案
解：$(1)$∵$\square ABCD$的两边$AB，$$AD$的长是关于$x$的方程$x^2 - ax + a - 1 = 0$的两个实数根，且$AB$的长为$2，$ ∴$x = 2$是关于$x$的方程$x^2 - ax + a - 1 = 0$的实数根。$ $将$x = 2$代入，得$2^2 - 2a + a - 1 = 0，$$4 - 2a + a - 1 = 0，$$-a = -3，$解得$a = 3，$ ∴原方程为$x^2 - 3x + 2 = 0，$即$(x - 1)(x - 2) = 0，$$ $解得$x_{1} = 2，$$x_{2} = 1，$
∴$AD$的长为$1。$$ (2)$∵菱形$ABCD$的两边$AB，$$AD$的长是关于$x$的方程$x^2 - ax + a - 1 = 0$的两个实数根， ∴关于$x$的方程$x^2 - ax + a - 1 = 0$有两个相等的实数根，∴$(-a)^2 - 4×1×(a - 1)=0，$$ a^2 - 4a + 4 = 0，$$(a - 2)^2 = 0，$解得$a_{1} = a_{2} = 2，$ ∴原方程为$x^2 - 2x + 1 = 0，$即$(x - 1)^2 = 0，$
∴$x_{1} = x_{2} = 1，$
∴菱形的周长为$1×4 = 4。$
∴$AD$的长为$1。$$ (2)$∵菱形$ABCD$的两边$AB，$$AD$的长是关于$x$的方程$x^2 - ax + a - 1 = 0$的两个实数根， ∴关于$x$的方程$x^2 - ax + a - 1 = 0$有两个相等的实数根，∴$(-a)^2 - 4×1×(a - 1)=0，$$ a^2 - 4a + 4 = 0，$$(a - 2)^2 = 0，$解得$a_{1} = a_{2} = 2，$ ∴原方程为$x^2 - 2x + 1 = 0，$即$(x - 1)^2 = 0，$
∴$x_{1} = x_{2} = 1，$
∴菱形的周长为$1×4 = 4。$
14.(10分)对于实数$p,q$,我们用符号$\max\{p,q\}$来表示$p,q$两数中较大的数,如$\max\{1,2\}=2$.
(1)请直接写出$\max\{-\sqrt{3},-\sqrt{5}\}=$______;
(2)若$\max\{(x-1)^2,x^2\}=4$,求$x$的值.
(1)请直接写出$\max\{-\sqrt{3},-\sqrt{5}\}=$______;
(2)若$\max\{(x-1)^2,x^2\}=4$,求$x$的值.
答案
$-\sqrt{3}$ ; 解：(2)当$(x - 1)^2＞x^2$时，$x^2 - 2x + 1＞x^2，$$-2x + 1＞0，$$2x＜1，$
解得$x＜\frac{1}{2}，$则$(x - 1)^2 = 4，$$x - 1 = \pm2，$ 当$x - 1 = 2$时，$x = 3$（舍去）；当$x - 1 = -2$时，$x = -1。$ 当$(x - 1)^2 = x^2$时，$x^2 - 2x + 1 = x^2，$$-2x = -1，$
解得$x = \frac{1}{2}，$
则$(x - 1)^2 = x^2=\frac{1}{4}\neq4，$舍去。 当$(x - 1)^2＜x^2$时，$x^2 - 2x + 1＜x^2，$$-2x + 1＜0，$$2x＞1，$
解得$x＞\frac{1}{2}，$则$x^2 = 4，$$x = \pm2，$
$x = -2$（舍去），$x = 2。$ 综上所述，$x$的值为$-1$或$2。$
解得$x＜\frac{1}{2}，$则$(x - 1)^2 = 4，$$x - 1 = \pm2，$ 当$x - 1 = 2$时，$x = 3$（舍去）；当$x - 1 = -2$时，$x = -1。$ 当$(x - 1)^2 = x^2$时，$x^2 - 2x + 1 = x^2，$$-2x = -1，$
解得$x = \frac{1}{2}，$
则$(x - 1)^2 = x^2=\frac{1}{4}\neq4，$舍去。 当$(x - 1)^2＜x^2$时，$x^2 - 2x + 1＜x^2，$$-2x + 1＜0，$$2x＞1，$
解得$x＞\frac{1}{2}，$则$x^2 = 4，$$x = \pm2，$
$x = -2$（舍去），$x = 2。$ 综上所述，$x$的值为$-1$或$2。$
