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1. 在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木(如图)，固定点 A 离地面的高度 AC=m，钢管与地面所成的角∠ABC=∠1，那么钢管 AB 的长为 (
A.$\frac{m}{\sin∠1}$
B.$\frac{m}{\cos∠1}$
C.$m\cos∠1$
D.$m\sin∠1$
A
)A.$\frac{m}{\sin∠1}$
B.$\frac{m}{\cos∠1}$
C.$m\cos∠1$
D.$m\sin∠1$
答案
1. A
解析
在直角三角形 $ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$AC = m$，$∠ ABC = ∠ 1$。
因为 $\sin∠ 1=\frac{AC}{AB}$，所以 $AB=\frac{AC}{\sin∠ 1}=\frac{m}{\sin∠ 1}$。
A
因为 $\sin∠ 1=\frac{AC}{AB}$，所以 $AB=\frac{AC}{\sin∠ 1}=\frac{m}{\sin∠ 1}$。
A
2. 如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度 BC=10 m，∠B=36°，则中柱 AD(D 为底边 BC 的中点)的长是 (
A.$5\sin36°\ \mathrm{m}$
B.$5\cos36°\ \mathrm{m}$
C.$5\tan36°\ \mathrm{m}$
D.$10\tan36°\ \mathrm{m}$
C
)A.$5\sin36°\ \mathrm{m}$
B.$5\cos36°\ \mathrm{m}$
C.$5\tan36°\ \mathrm{m}$
D.$10\tan36°\ \mathrm{m}$
答案
2. C
解析
解：
∵△ABC是等腰三角形，D为底边BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=DC=5 m。
在Rt△ABD中，∠B=36°，
tan∠B=AD/BD，
∴AD=BD·tan∠B=5tan36° m。
C
∵△ABC是等腰三角形，D为底边BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=DC=5 m。
在Rt△ABD中，∠B=36°，
tan∠B=AD/BD，
∴AD=BD·tan∠B=5tan36° m。
C
3. 如图，滑雪者想到莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为 32°，缆车的速度为每分钟 50 米，从山脚下 A 处到达山顶 B 处乘缆车需要 16 分钟，则山的高度 BC 约为
424
米.(结果精确到 1 米，参考数据：$\sin32°\approx0.5299$，$\cos32°\approx0.8480$，$\tan32°\approx0.6249$)答案
3. 424
解析
解：由题意得，缆车行驶的路程为 $ AB = 50 × 16 = 800 $ 米。
在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ BAC = 32° $，$ BC ⊥ AC $，
则 $ BC = AB · \sin 32° \approx 800 × 0.5299 = 423.92 \approx 424 $ 米。
424
在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ BAC = 32° $，$ BC ⊥ AC $，
则 $ BC = AB · \sin 32° \approx 800 × 0.5299 = 423.92 \approx 424 $ 米。
424
4. 某段高铁修建过程中需要经过一座小山. 如图，施工方计划沿 AC 方向开挖隧道，为了加快施工进度，要在小山的另一侧 D（A，C，D 共线）处同时施工，测得∠CAB=30°，AB=4 km，∠ABD=105°，求 BD 的长.
答案
4. $ 2 \sqrt { 2 } \mathrm { km } $
解析
解：过点$B$作$BE ⊥ AD$于点$E$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ BAE = 30°$，$AB = 4\ \mathrm{km}$，
$\therefore BE = AB · \sin 30° = 4×\frac{1}{2}=2\ \mathrm{km}$，
$∠ ABE = 60°$。
$\because ∠ ABD = 105°$，
$\therefore ∠ DBE = ∠ ABD - ∠ ABE = 105° - 60° = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ DBE = 45°$，$BE = 2\ \mathrm{km}$，
$\therefore BD = \frac{BE}{\cos 45°} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2}\ \mathrm{km}$。
答：$BD$的长为$2\sqrt{2}\ \mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ BAE = 30°$，$AB = 4\ \mathrm{km}$，
$\therefore BE = AB · \sin 30° = 4×\frac{1}{2}=2\ \mathrm{km}$，
$∠ ABE = 60°$。
$\because ∠ ABD = 105°$，
$\therefore ∠ DBE = ∠ ABD - ∠ ABE = 105° - 60° = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ DBE = 45°$，$BE = 2\ \mathrm{km}$，
$\therefore BD = \frac{BE}{\cos 45°} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{2}\ \mathrm{km}$。
答：$BD$的长为$2\sqrt{2}\ \mathrm{km}$。
5. 如图，某高速公路建设中需要确定隧道 AB 的长度. 已知在离地面 1500 m 高的 C 处有一架飞机，飞行员测得 A，B 两点处的俯角分别为 60°和 45°，求隧道 AB 的长.
答案
5. 635 m
解析
解：由题意得，$CO=1500\ \mathrm{m}$，$∠ ACD=60°$，$∠ BCD=45°$，$CD// OB$，
$\therefore ∠ CAO=∠ ACD=60°$，$∠ CBO=∠ BCD=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，$\tan∠ CAO=\dfrac{CO}{AO}$，
$\therefore AO=\dfrac{CO}{\tan60°}=\dfrac{1500}{\sqrt{3}}=500\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$\tan∠ CBO=\dfrac{CO}{BO}$，
$\therefore BO=\dfrac{CO}{\tan45°}=\dfrac{1500}{1}=1500\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=BO-AO=1500-500\sqrt{3}\approx1500-500×1.732=634\ \mathrm{m}$，
答：隧道$AB$的长约为$634\ \mathrm{m}$.
$\therefore ∠ CAO=∠ ACD=60°$，$∠ CBO=∠ BCD=45°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，$\tan∠ CAO=\dfrac{CO}{AO}$，
$\therefore AO=\dfrac{CO}{\tan60°}=\dfrac{1500}{\sqrt{3}}=500\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$\tan∠ CBO=\dfrac{CO}{BO}$，
$\therefore BO=\dfrac{CO}{\tan45°}=\dfrac{1500}{1}=1500\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=BO-AO=1500-500\sqrt{3}\approx1500-500×1.732=634\ \mathrm{m}$，
答：隧道$AB$的长约为$634\ \mathrm{m}$.
