1. 完成下列表格：

| $θ$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\sin θ$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\cos θ$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\tan θ$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |

根据三角函数的定义，可以得出：
$\sin 30° = \frac{1}{2}$，
$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$；
$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\tan 45° = 1$；
$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\cos 60° = \frac{1}{2}$，
$\tan 60° = \sqrt{3}$。

2. 若 $\cosα=\frac{4}{5}$，则锐角 $α$ 满足 ()

A.$0^{\circ}＜α＜30^{\circ}$
B.$30^{\circ}＜α＜45^{\circ}$
C.$45^{\circ}＜α＜60^{\circ}$
D.$60^{\circ}＜α＜90^{\circ}$

2. B

∵α为锐角，且$\cosα=\frac{4}{5}=0.8$，
$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$，$\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$，
又
∵余弦函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间随角度增大而减小，
$0.707＜0.8＜0.866$，
∴$30^{\circ}＜α＜45^{\circ}$。
B

3. 在$△ ABC$中，$∠ A=75^{\circ}$，$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则 $\tan C=$ ()

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$1$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. C

在$△ ABC$中，$∠ A=75°$，$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
因为在三角形中，$0°＜∠ B＜180°$，且$\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$∠ B=60°$或$∠ B=120°$。
若$∠ B=120°$，则$∠ A+∠ B=75°+120°=195°＞180°$，不符合三角形内角和定理，故舍去。
所以$∠ B=60°$。
因为三角形内角和为$180°$，所以$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-75°-60°=45°$。
则$\tan C=\tan45°=1$。
C

4. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$都是锐角，若 $\tan A=1$，$\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$△ ABC$的形状是 ()

A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.一般直角三角形
D.等腰直角三角形

4. D

在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$都是锐角。
因为$\tan A = 1$，所以$∠ A = 45°$。
因为$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$∠ B = 45°$。
则$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 45° - 45° = 90°$。
所以$△ ABC$是等腰直角三角形。
D

5. 计算下列各式的值：
(1)$2\sin30^{\circ}+3\cos60^{\circ}-4\tan45^{\circ}$；
(2)$\sqrt{27}-(4-π)^0-6\cos30^{\circ}+\vert-2\vert$.

5. (1)$-\frac{3}{2}$ (2)1

(1) $2\sin30^{\circ}+3\cos60^{\circ}-4\tan45^{\circ}$
$=2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{2}-4×1$
$=1+\frac{3}{2}-4$
$=\frac{5}{2}-4$
$=-\frac{3}{2}$
(2) $\sqrt{27}-(4-π)^0-6\cos30^{\circ}+\vert-2\vert$
$=3\sqrt{3}-1-6×\frac{\sqrt{3}}{2}+2$
$=3\sqrt{3}-1-3\sqrt{3}+2$
$=(-1+2)+(3\sqrt{3}-3\sqrt{3})$
$=1$

6. 先化简，再求值：$(\frac{2}{a-1}-\frac{2a+1}{a^2-1})÷\frac{1}{1-a}$，其中 $a=2\sin60^{\circ}-\tan45^{\circ}$.

6. 原式$=-\frac{1}{a + 1}$，代入求得$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

解：原式$=[\frac{2(a+1)}{(a-1)(a+1)}-\frac{2a+1}{(a-1)(a+1)}]· (1-a)$
$=\frac{2a+2-2a-1}{(a-1)(a+1)}· (1-a)$
$=\frac{1}{(a-1)(a+1)}· [-(a-1)]$
$=-\frac{1}{a+1}$
$a=2\sin60^{\circ}-\tan45^{\circ}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}-1=\sqrt{3}-1$
代入得：$-\frac{1}{\sqrt{3}-1+1}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ CAB=120^{\circ}$，$AB=4$，$AC=2$，$AD⊥ BC$，$D$是垂足.求 $AD$的长.

7. $\frac{2\sqrt{21}}{7}$

解：过点$C$作$CE ⊥ AB$交$BA$的延长线于点$E$。
在$△ ACE$中，$∠ CAE = 180° - ∠ CAB = 60°$，$AC = 2$，
$\therefore AE = AC · \cos 60° = 2 × \frac{1}{2} = 1$，
$CE = AC · \sin 60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
$\because AB = 4$，$\therefore BE = AB + AE = 4 + 1 = 5$。
在$\mathrm{Rt}△ CEB$中，$BC = \sqrt{CE^2 + BE^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 5^2} = \sqrt{3 + 25} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$。
$\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CE = \frac{1}{2}BC · AD$，
$\therefore \frac{1}{2} × 4 × \sqrt{3} = \frac{1}{2} × 2\sqrt{7} · AD$，
解得$AD = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{21}}{7}$。
$\frac{2\sqrt{21}}{7}$