6. 如图，在${Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle ABC$的平分线$BD$交$AC$于点$D$.若$CD = 3$，点$Q$是线段$AB$上的一个动点，则$DQ$的最小值是 ()

A.$5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$

C

过点D作DE⊥AB于点E。因为BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，所以DE=CD=3。当点Q与点E重合时，DQ取得最小值，最小值为DE=3。

7. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，点$D$在$AB$上，$AD = AC$，点$E$在$BC$上，$DE \perp AB$.若$\angle B = 28^{\circ}$，则$\angle AED =$ ()

A.$28^{\circ}$
B.$62^{\circ}$
C.$59^{\circ}$
D.$58^{\circ}$

C

在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle B=28^{\circ}$，则$\angle BAC=90^{\circ}-28^{\circ}=62^{\circ}$。
$\because AD=AC$，$AE=AE$，$\angle C=\angle ADE=90^{\circ}$，
$\therefore \triangle ACE \cong \triangle ADE$（HL），
$\therefore \angle CAE=\angle DAE=\frac{1}{2}\angle BAC=31^{\circ}$。
在$\triangle ADE$中，$\angle AED=90^{\circ}-\angle DAE=90^{\circ}-31^{\circ}=59^{\circ}$。

8. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 40^{\circ}$，$AB = AC$，$D$，$E$，$F$分别是边$AB$，$BC$，$AC$上的点，且$BD = CE$，$BE = CF$，则$\angle DEF$的度数是 ()

A.$75^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

B

∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠B=∠C=(180°-40°)/2=70°．
在△BDE和△CEF中，
BD=CE（已知），
∠B=∠C（已证），
BE=CF（已知），
∴△BDE≌△CEF（SAS）．
∴∠BDE=∠CEF．
在△BDE中，∠B=70°，
∴∠BDE+∠BED=180°-70°=110°，
∴∠CEF+∠BED=110°．
∵点E在BC上，∠BEC=180°，
即∠BED+∠DEF+∠CEF=180°，
∴∠DEF=180°-(∠BED+∠CEF)=180°-110°=70°．

9. 如图，$\triangle ABC$的三边$AB$，$BC$，$CA$的长分别是$20$，$30$，$40$，其三条角平分线将$\triangle ABC$分为三个三角形，则$S_{\triangle ABO}\colon S_{\triangle BCO}\colon S_{\triangle CAO} =$ ()

A.$1 \colon 1 \colon 1$
B.$1 \colon 2 \colon 3$
C.$2 \colon 3 \colon 4$
D.$3 \colon 4 \colon 5$

C

过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F。
∵O是△ABC三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF（角平分线上的点到角两边距离相等）。
设OD=OE=OF=h。
则$S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}AB· h=\frac{1}{2}×20h=10h$，
$S_{\triangle BCO}=\frac{1}{2}BC· h=\frac{1}{2}×30h=15h$，
$S_{\triangle CAO}=\frac{1}{2}CA· h=\frac{1}{2}×40h=20h$。
∴$S_{\triangle ABO}\colon S_{\triangle BCO}\colon S_{\triangle CAO}=10h\colon15h\colon20h=2\colon3\colon4$。

10. 如图，$BC = 6 cm$，$\angle PBC = \angle QCB = 60^{\circ}$，点$M$在线段$CB$上以$3 cm/s$的速度由点$C$向点$B$运动，同时，点$N$在射线$CQ$上以$1 cm/s$的速度运动，它们运动的时间为$t s$(当点$M$运动结束时，点$N$运动随之结束).在射线$BP$上取点$A$，在点$M$，$N$运动到某处时，有$\triangle ABM$与$\triangle MCN$全等，则此时$AB$的长度为 ()


A.$1 cm$
B.$2 cm$或$\dfrac{9}{2} cm$
C.$2 cm$
D.$1 cm$或$\dfrac{9}{2} cm$

D

由题意，运动时间为$t$秒（$0\leq t\leq2$），则$CM=3t$，$MB=6 - 3t$，$CN=t$。需分两种情况讨论$\triangle ABM\cong\triangle MCN$：
情况一：$\angle ABM=\angle MCN=60°$，$AB=MC$，$BM=CN$
则$BM=CN\Rightarrow6 - 3t=t\Rightarrow t=1.5$。
此时$AB=MC=3t=3×1.5=\frac{9}{2}\,cm$。
情况二：$\angle ABM=\angle MCN=60°$，$AB=CN$，$BM=MC$
则$BM=MC\Rightarrow6 - 3t=3t\Rightarrow t=1$。
此时$AB=CN=t=1\,cm$。
综上，$AB=1\,cm$或$\frac{9}{2}\,cm$。

11. 如图，点$A$，$B$，$C$，$D$在同一条直线上，$\triangle ACE \cong \triangle DBF$.已知$AC = 5$，$BC = 2$，则$AD$的长为.

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因为$\triangle ACE \cong \triangle DBF$，所以$AC = DB = 5$。已知$AC = 5$，$BC = 2$，则$AB = AC - BC = 5 - 2 = 3$。又因为$AD = AB + BC + CD$，且$DB = BC + CD = 5$，所以$CD = DB - BC = 5 - 2 = 3$。因此$AD = AB + BC + CD = 3 + 2 + 3 = 8$。