登录
1. 如图,点 $ P $ 在反比例函数 $ y = \frac { 2 } { x } ( x ＞ 0 ) $ 的图象上,点 $ A , B $ 在 $ x $ 轴上,且 $ P A ⊥ P B $, 垂足为 $ P $. 若 $ O A = O B = P B $, 则 $ △ A B P $ 的面积是
4
.答案
4
解析
设OA=OB=a，则A(-a,0)，B(a,0)，AB=2a。设P(x,y)，因P在y=2/x上，故xy=2。
∵PA⊥PB，∴斜率乘积k₁k₂=-1，即[y/(x+a)][y/(x-a)]=-1，得y²=a²-x²。
∵PB=OA=a，∴(x-a)²+y²=a²，代入y²=a²-x²得(x-a)²+a²-x²=a²，化简得-2ax+2a²=a²，解得x=a/2。
将x=a/2代入y²=a²-x²得y=(√3 a)/2（y＞0）。
∵P在y=2/x上，∴y=2/(a/2)=4/a，即(√3 a)/2=4/a，得a·y=4。
△ABP面积=1/2·AB·y=1/2·2a·y=a·y=4。
∵PA⊥PB，∴斜率乘积k₁k₂=-1，即[y/(x+a)][y/(x-a)]=-1，得y²=a²-x²。
∵PB=OA=a，∴(x-a)²+y²=a²，代入y²=a²-x²得(x-a)²+a²-x²=a²，化简得-2ax+2a²=a²，解得x=a/2。
将x=a/2代入y²=a²-x²得y=(√3 a)/2（y＞0）。
∵P在y=2/x上，∴y=2/(a/2)=4/a，即(√3 a)/2=4/a，得a·y=4。
△ABP面积=1/2·AB·y=1/2·2a·y=a·y=4。
2. 如图,点 $ B $ 在反比例函数 $ y = \frac { k } { x } ( x ＞ 0 ) $ 的图象上,过点 $ B $ 作 $ B D ⊥ y $ 轴,垂足为 $ D , C $ 为 $ x $ 轴上一动点,若 $ S _ { △ B C D } = 5 $, 则 $ k $ 的值为
10
.答案
$k$ 的值为 10。
解析
设点 $ B$ 的坐标为 $(x, \frac{k}{x}) $，由于 $ BD $ 垂直于 $ y $ 轴，所以点 $ D $ 的坐标为 $(0, \frac{k}{x}) $。
三角形 $ BCD $ 的底 $ BD $ 的长度为 $ x $，高为点 $C$的横坐标（设为$x_C$）的相反数（因为C在x轴上，且若C坐标为$(x_C,0)$，则三角形高为$|x_C-0|=|x_C|$，但由于C在x轴负半轴（由图可知），所以高为$-x_C$，但由于我们设B点横坐标为正，且三角形面积总是正，所以可以用$x$表示高相关的长度（即OD对应的x轴长度），实际计算时，高就是点B的横坐标的相反数的绝对值，即x（因为x＞0）），而 $ OD$ 在 $ y $ 轴上，其长度是$|\frac{k}{x}|$，但由于三角形面积公式中的高，我们取正值，且D点在B点下方（由图可知），所以三角形的高就是B点的横坐标x（因为底BD在y轴上，长度是B点的纵坐标的绝对值，但计算面积时，我们用的是底乘以高，这里的高就是与y轴垂直的x轴上的长度）。
三角形 $ BCD $ 的面积为：
$S_{\bigtriangleup BCD} = \frac{1}{2} × BD × (x_C的相反数，即x) = \frac{1}{2} × x × \frac{k}{x}（因为OD长度为\frac{k}{x}，作为底BD上的高对应的“底”实际上是x，但此处我们直接用面积公式，底为x，高（垂直于y轴）为点B的纵坐标（即\frac{k}{x}）在三角形面积计算中对应的是“高”的概念，不过此处的高是相对于BD为底时的“高”，即x轴上的长度，所以直接计算为） = \frac{1}{2} × |k| =5$，
由于$x＞0$，且由图知k＞0，所以：
$\frac{1}{2}k = 5$，
解得 $k = 10$。
三角形 $ BCD $ 的底 $ BD $ 的长度为 $ x $，高为点 $C$的横坐标（设为$x_C$）的相反数（因为C在x轴上，且若C坐标为$(x_C,0)$，则三角形高为$|x_C-0|=|x_C|$，但由于C在x轴负半轴（由图可知），所以高为$-x_C$，但由于我们设B点横坐标为正，且三角形面积总是正，所以可以用$x$表示高相关的长度（即OD对应的x轴长度），实际计算时，高就是点B的横坐标的相反数的绝对值，即x（因为x＞0）），而 $ OD$ 在 $ y $ 轴上，其长度是$|\frac{k}{x}|$，但由于三角形面积公式中的高，我们取正值，且D点在B点下方（由图可知），所以三角形的高就是B点的横坐标x（因为底BD在y轴上，长度是B点的纵坐标的绝对值，但计算面积时，我们用的是底乘以高，这里的高就是与y轴垂直的x轴上的长度）。
三角形 $ BCD $ 的面积为：
$S_{\bigtriangleup BCD} = \frac{1}{2} × BD × (x_C的相反数，即x) = \frac{1}{2} × x × \frac{k}{x}（因为OD长度为\frac{k}{x}，作为底BD上的高对应的“底”实际上是x，但此处我们直接用面积公式，底为x，高（垂直于y轴）为点B的纵坐标（即\frac{k}{x}）在三角形面积计算中对应的是“高”的概念，不过此处的高是相对于BD为底时的“高”，即x轴上的长度，所以直接计算为） = \frac{1}{2} × |k| =5$，
由于$x＞0$，且由图知k＞0，所以：
$\frac{1}{2}k = 5$，
解得 $k = 10$。
3. 如图,过 $ x $ 轴正半轴上任意一点 $ P $ 作 $ y $ 轴的平行线,分别交反比例函数 $ y = \frac { 3 } { x } ( x ＞ 0 ) $ 和 $ y = - \frac { 6 } { x } ( x ＞ 0 ) $ 的图象于点 $ A , B . C $ 是 $ y $ 轴上的一点,则 $ △ A B C $ 的面积为
$\frac{9}{2}$
.答案
$\frac{9}{2}$
解析
设点$ P(a,0)(a＞0) $，则过$ P $平行于$ y $轴的直线为$ x=a $。
点$ A $为$ x=a $与$ y=\frac{3}{x} $的交点，坐标为$ (a,\frac{3}{a}) $；
点$ B $为$ x=a $与$ y=-\frac{6}{x} $的交点，坐标为$ (a,-\frac{6}{a}) $。
$ AB $的长度为$ \left| \frac{3}{a} - (-\frac{6}{a}) \right| = \frac{9}{a} $。
点$ C $在$ y $轴上，到直线$ AB(x=a) $的距离为$ a $。
$ △ ABC $面积$ S = \frac{1}{2} × AB × a = \frac{1}{2} × \frac{9}{a} × a = \frac{9}{2} $。
点$ A $为$ x=a $与$ y=\frac{3}{x} $的交点，坐标为$ (a,\frac{3}{a}) $；
点$ B $为$ x=a $与$ y=-\frac{6}{x} $的交点，坐标为$ (a,-\frac{6}{a}) $。
$ AB $的长度为$ \left| \frac{3}{a} - (-\frac{6}{a}) \right| = \frac{9}{a} $。
点$ C $在$ y $轴上，到直线$ AB(x=a) $的距离为$ a $。
$ △ ABC $面积$ S = \frac{1}{2} × AB × a = \frac{1}{2} × \frac{9}{a} × a = \frac{9}{2} $。
4. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $ M N $ 与反比例函数 $ y = \frac { k } { x } $ 的图象交于 $ M ( \frac { 1 } { 2 } , 4 ) , N ( n , 1 ) $ 两点. 求 $ △ O M N $ 的面积.
答案
15/4
解析
∵点M(1/2,4)在反比例函数y=k/x上，∴4=k/(1/2)，解得k=2，反比例函数解析式为y=2/x。
∵点N(n,1)在y=2/x上，∴1=2/n，解得n=2，即N(2,1)。
设直线MN解析式为y=ax+b，将M(1/2,4)、N(2,1)代入得：
{(1/2)a+b=4, 2a+b=1}，解得{a=-2, b=5}，∴直线MN：y=-2x+5。
直线MN与y轴交于点A(0,5)。
S△OMN=S△OAN - S△OAM = (1/2)×5×2 - (1/2)×5×(1/2)=5 - 5/4=15/4。
∵点N(n,1)在y=2/x上，∴1=2/n，解得n=2，即N(2,1)。
设直线MN解析式为y=ax+b，将M(1/2,4)、N(2,1)代入得：
{(1/2)a+b=4, 2a+b=1}，解得{a=-2, b=5}，∴直线MN：y=-2x+5。
直线MN与y轴交于点A(0,5)。
S△OMN=S△OAN - S△OAM = (1/2)×5×2 - (1/2)×5×(1/2)=5 - 5/4=15/4。
