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8. 如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走(
A.①
B.②
C.③
D.④
A
)A.①
B.②
C.③
D.④
答案
A
解析
原几何体左视图初始列高假设为3、1、2。取走①后，左视列为2、1、2，该图形沿中间竖线对称（轴对称），绕中心旋转180°后与自身重合（中心对称）；取走②后左视列有断层，不对称；取走③后左视列缺中间列，不对称；取走④后左视列为3、1、1，不对称。故应取走①。
9. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为(
A.$12π$
B.$18π$
C.$24π$
D.$30π$
B
)A.$12π$
B.$18π$
C.$24π$
D.$30π$
答案
B
解析
由三视图可知该几何体为空心圆柱（大圆柱挖去同轴线小圆柱）。主视图中同心圆外圆直径为4，故外半径$R=2$；左视图矩形高度为6，即圆柱高$h=6$；俯视图矩形标注宽度2为内圆柱直径，故内半径$r=1$。体积$V=πR²h - πr²h=π×6×(2² - 1²)=18π$。
10. 由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有(
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
D
)A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
答案
D
解析
由主视图和左视图可知，该几何体的俯视图为2行2列网格。设俯视图中每个位置小正方体个数为$a,b,c,d$（$a,b$为第1行，$c,d$为第2行；$a,c$为第1列，$b,d$为第2列）。主视图每列高度为2，故$\max(a,c)=2$，$\max(b,d)=2$；左视图每行高度为2，故$\max(a,b)=2$，$\max(c,d)=2$。小正方体总数为5，即$a+b+c+d=5$。满足条件的$(a,b,c,d)$有$(2,1,0,2),(2,0,1,2),(1,2,2,0),(0,2,2,1)$共4种。
11. 已知一个模型的三视图如图所示(单位：m).
(1)请描述这个模型的形状；
(2)制作这个模型的木料密度为$360\space kg/m^{3}$，则这个模型的质量是多少千克？
(3)如果要给这个模型刷油漆，每千克油漆可以漆$4\space m^{2}$，需要油漆多少千克？
(1)请描述这个模型的形状；
(2)制作这个模型的木料密度为$360\space kg/m^{3}$，则这个模型的质量是多少千克？
(3)如果要给这个模型刷油漆，每千克油漆可以漆$4\space m^{2}$，需要油漆多少千克？
答案
(1)这个模型由长方体和长方体组合而成。下面是一个长10m，宽5m，高5m的长方体，上面（在长10米的中间位置）是一个长3m，宽2m，高1.5m的长方体。(2)这个模型的质量是93240kg。(3)需要油漆55.25kg。
解析
(1) 模型的形状描述：
这个模型由一个长方体和一个正方体组成，长方体的底面是一个长为10米、宽为5米的长方形，长方体的高为 或（高度是）5米（前两个视图的高度），长方体上面中间放着一个长3米、宽2米、高1.5米的小长方体（根据正视图和侧视图的高度确定）；或者描述为下面为一个底面是长方形，长10米、宽5米，高为6-1.5（或5-0（直接看）） 实际直接看为下面长方体高可能表述调整，根据三视图知下面长方体高应为整体看高减上面小长方体高，但三视图已直接给出关键尺寸，正视图前面高5为下面长方体高（因为侧视图也显示下面高5，且上面小长方体高1.5），所以下面长方体高5米，上面小长方体长3米（与底面长方体长边方向一致，正视图显示），宽2米（正视图显示），高1.5米（侧视图显示）；侧视图还显示整体宽方向，下面长方体宽5米，上面小长方体由于是放上面中间，其宽2米小于下面长方体宽5米，所以不影响侧视图显示下面长方体宽；所以模型形状为下面是一个长10米，宽5米，高5米的长方体，上面（在长10米的中间位置）放着一个长3米，宽2米，高1.5米的小长方体。
(2) 计算模型的体积：
下面长方体体积$ V_1 = 10 × 5 × 5 = 250 （m^3）$，
上面小长方体体积$ V_2 = 3 × 2 × 1.5 = 9（m^3）$，
总体积$ V = V_1 + V_2 = 250 + 9 = 259 （m^3）$，
计算模型的质量：
质量$ m = \rho V = 360 × 259 = 93240 （kg）$。
(3) 计算模型的表面积：
下面长方体表面积（不包括上面与小长方体接触的面）:
$S_1 = 2 × (10 × 5) + 2 × (5 × 5) + 2 × (10 × 5) - ($与小长方体接触面，但计算整体表面积时，小长方体下底面不计算，所以这里下面长方体上表面不减去，因为小长方体要单独刷油漆，所以下面长方体表面积按完整算再减去与小长方体接触的底面积（但此处在算下面长方体时我们不算上表面，因为小长方体要单独算，所以只算下面长方体的外表面）) = 2 × 50 + 2 × 25 + 2 × 50 - 0（因为不算上表面$） = 250 （m^2）（（$但实际我们按分步，下面长方体五个面（因为上面被小长方体覆盖，所以不算上面）：$2 × (10 × 5) + 2 × (5 × 5) + 10 × 5 = 100 + 50 + 50 = 200 （m^2）（（$两个长面，两个宽面，一个底面）），上面小长方体表面积（不包括底面$）:S_2 = 2 × (3 × 1.5) + 2 × (2 × 1.5) + 3 × 2 = 9 + 6 + 6 = 21 （m^2）（（$两个长面，两个宽面，一个顶面，底面与下面长方体接触不计算）），但由于小长方体放在下面长方体上面，所以小长方体的底面与下面长方体的上表面重合，不计入总表面积，所以总表面积$ S = S_1($下面长方体五个面$) + S_2($小长方体四个侧面加顶面) = 200 + 21 × （实际应为下面长方体完整外表面（无上面）加小长方体四侧和顶，但小长方体四侧和顶共算为除底面的表面积） = 200 + (小长方体表面积去掉底面) = 200 + (2×(3×1.5)+2×(2×1.5)+3×2 - 3×2（底面）) = 200 + (9+6+6-6（因为底面3x2=6）) = 200 + 15 = 215 - （多减去的调整，实际上面计算S2时已经没算底面，所以直接200+21（S2计算的无底面表面积）） = 221 - （检查，发现S2计算为无底面表面积21，所以） = 200 + 21 = 221 - （重复确认，无误$） = 221（m^2）（（$或者更简单，下面长方体：前后面：2×(10×5)=100，左右面：2×(5×5)=50，底面：10×5=50，共200；小长方体：前后面：2×(3×1.5)=9，左右面：2×(2×1.5)=6，顶面：3×2=6，共21；总221）），计算需要油漆的质量：油漆质量$ m_{paint} = \frac{S}{4} = \frac{221}{4} = 55.25 （kg）$。
这个模型由一个长方体和一个正方体组成，长方体的底面是一个长为10米、宽为5米的长方形，长方体的高为 或（高度是）5米（前两个视图的高度），长方体上面中间放着一个长3米、宽2米、高1.5米的小长方体（根据正视图和侧视图的高度确定）；或者描述为下面为一个底面是长方形，长10米、宽5米，高为6-1.5（或5-0（直接看）） 实际直接看为下面长方体高可能表述调整，根据三视图知下面长方体高应为整体看高减上面小长方体高，但三视图已直接给出关键尺寸，正视图前面高5为下面长方体高（因为侧视图也显示下面高5，且上面小长方体高1.5），所以下面长方体高5米，上面小长方体长3米（与底面长方体长边方向一致，正视图显示），宽2米（正视图显示），高1.5米（侧视图显示）；侧视图还显示整体宽方向，下面长方体宽5米，上面小长方体由于是放上面中间，其宽2米小于下面长方体宽5米，所以不影响侧视图显示下面长方体宽；所以模型形状为下面是一个长10米，宽5米，高5米的长方体，上面（在长10米的中间位置）放着一个长3米，宽2米，高1.5米的小长方体。
(2) 计算模型的体积：
下面长方体体积$ V_1 = 10 × 5 × 5 = 250 （m^3）$，
上面小长方体体积$ V_2 = 3 × 2 × 1.5 = 9（m^3）$，
总体积$ V = V_1 + V_2 = 250 + 9 = 259 （m^3）$，
计算模型的质量：
质量$ m = \rho V = 360 × 259 = 93240 （kg）$。
(3) 计算模型的表面积：
下面长方体表面积（不包括上面与小长方体接触的面）:
$S_1 = 2 × (10 × 5) + 2 × (5 × 5) + 2 × (10 × 5) - ($与小长方体接触面，但计算整体表面积时，小长方体下底面不计算，所以这里下面长方体上表面不减去，因为小长方体要单独刷油漆，所以下面长方体表面积按完整算再减去与小长方体接触的底面积（但此处在算下面长方体时我们不算上表面，因为小长方体要单独算，所以只算下面长方体的外表面）) = 2 × 50 + 2 × 25 + 2 × 50 - 0（因为不算上表面$） = 250 （m^2）（（$但实际我们按分步，下面长方体五个面（因为上面被小长方体覆盖，所以不算上面）：$2 × (10 × 5) + 2 × (5 × 5) + 10 × 5 = 100 + 50 + 50 = 200 （m^2）（（$两个长面，两个宽面，一个底面）），上面小长方体表面积（不包括底面$）:S_2 = 2 × (3 × 1.5) + 2 × (2 × 1.5) + 3 × 2 = 9 + 6 + 6 = 21 （m^2）（（$两个长面，两个宽面，一个顶面，底面与下面长方体接触不计算）），但由于小长方体放在下面长方体上面，所以小长方体的底面与下面长方体的上表面重合，不计入总表面积，所以总表面积$ S = S_1($下面长方体五个面$) + S_2($小长方体四个侧面加顶面) = 200 + 21 × （实际应为下面长方体完整外表面（无上面）加小长方体四侧和顶，但小长方体四侧和顶共算为除底面的表面积） = 200 + (小长方体表面积去掉底面) = 200 + (2×(3×1.5)+2×(2×1.5)+3×2 - 3×2（底面）) = 200 + (9+6+6-6（因为底面3x2=6）) = 200 + 15 = 215 - （多减去的调整，实际上面计算S2时已经没算底面，所以直接200+21（S2计算的无底面表面积）） = 221 - （检查，发现S2计算为无底面表面积21，所以） = 200 + 21 = 221 - （重复确认，无误$） = 221（m^2）（（$或者更简单，下面长方体：前后面：2×(10×5)=100，左右面：2×(5×5)=50，底面：10×5=50，共200；小长方体：前后面：2×(3×1.5)=9，左右面：2×(2×1.5)=6，顶面：3×2=6，共21；总221）），计算需要油漆的质量：油漆质量$ m_{paint} = \frac{S}{4} = \frac{221}{4} = 55.25 （kg）$。
