一、选择题(每小题6分,共24分)
1. 如图,不能说明$△ ABC∽△ ACD$的一组条件是()


A.$∠ B=∠ ACD$
B.$∠ ADC=∠ ACB$
C.$AC^{2}=AD· AB$
D.$\frac{AD}{AC}=\frac{DC}{BC}$

1.D

2. 已知$△ ABC$的一边$BC = 5$,另两边长分别是3,4,若$P$是$△ ABC$的边$BC$上异于$B$,$C$的一点,过点$P$作直线截$△ ABC$,截得的三角形与原$△ ABC$相似,满足这样条件的直线有()

A.4条
B.3条
C.2条
D.1条

2.B

∵△ABC的三边长为3,4,5，
∴$3^2 + 4^2 = 5^2$，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。
情况1：过P作AB的平行线交AC于点D
则△PDC∽△BAC，有1条。
情况2：过P作AC的平行线交AB于点E
则△PEB∽△CAB，有1条。
情况3：过P作直线使∠APD=∠C（或∠B）
设BP=x，则PC=5-x，由相似性质得$\frac{BP}{BA}=\frac{BE}{BC}$（或$\frac{PC}{CA}=\frac{CD}{CB}$），可解得符合条件的P点，有1条。
综上，满足条件的直线共3条。
B

3. (2024·南通期末)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,点$A$,$B$,$C$,$D$在小正方形的顶点处,$AC$与$BD$相交于点$O$,则$AO$的长等于()

A.$\frac{\sqrt{29}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{26}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{29}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{26}}{2}$

3.A

4. (2023·哈尔滨)如图,$AC$,$BD$相交于点$O$,$AB// DC$,$M$是$AB$的中点,$MN// AC$,交$BD$于点$N$,若$DO:OB = 1:2$,$AC = 12$,则$MN$的长为()

A.2
B.4
C.6
D.8

4.B

证明：
∵ $AB // DC$，
∴ $△ DOC ∼ △ AOB$，
∴ $\frac{DO}{OB} = \frac{CO}{AO} = \frac{1}{2}$。
设 $CO = x$，则 $AO = 2x$，
∵ $AC = AO + CO = 12$，
∴ $2x + x = 12$，解得 $x = 4$，
∴ $AO = 8$。
∵ $M$ 是 $AB$ 中点，$MN // AC$，
∴ $MN$ 是 $△ ABO$ 的中位线，
∴ $MN = \frac{1}{2}AO = \frac{1}{2} × 8 = 4$。
答案：B

二、填空题(每小题6分,共36分)
5. (2023·惠山区期中)如图,$P$是线段$AB$的黄金分割点,且$AP＜ BP$.

如果$AB = 2$,那么$BP =$. (结果保留一位小数)

5.1.2

解：
∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，
∴$\frac{BP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∵AB=2，
∴$BP=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1\approx2.236-1=1.236\approx1.2$。
1.2

6. 在$△ ABC$中,$AB = AC = 10\ \mathrm{cm}$,$BC = 16\ \mathrm{cm}$,则这个三角形的重心$G$到$BC$的距离是$\mathrm{cm}$.

6.2

解：过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$，
$\because AB = AC = 10\ \mathrm{cm}$，$BC = 16\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BD=\dfrac{1}{2}BC = 8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6\ \mathrm{cm}$，
$\because$重心$G$到$BC$的距离是$AD$的$\dfrac{1}{3}$，
$\therefore$重心$G$到$BC$的距离为$\dfrac{1}{3}×6 = 2\ \mathrm{cm}$。
2

7. (2023·丹阳二模)如图,在矩形$ABCD$中,若$AB = 6$,$AC = 10$,$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{4}$,则$AE$的长为.

7.2

解：在矩形$ABCD$中，$∠ ABC = 90°$，$AD// BC$。
在$Rt△ ABC$中，$AB = 6$，$AC = 10$，由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$，则$AD = BC = 8$。
设$AF = x$，因为$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{4}$，所以$FC = 4x$，$AC=AF + FC=5x = 10$，解得$x = 2$，即$AF = 2$，$FC = 8$。
因为$AD// BC$，所以$△ AEF∼△ CBF$，则$\frac{AE}{BC}=\frac{AF}{FC}$，即$\frac{AE}{8}=\frac{2}{8}$，解得$AE = 2$。
$2$

8. (2024·重庆)如图,在$△ ABC$中,延长$AC$至点$D$,使$CD = CA$,过点$D$作$DE// CB$,且$DE = DC$,连接$AE$交$BC$于点$F$.若$∠ CAB=∠ CFA$,$CF = 1$,则$BF =$.

8.3

证明：
∵ $CD = CA$，$DE = DC$，
∴ $DE = CA$。
∵ $DE // CB$，
∴ $∠ ADE = ∠ ACB$。
在$△ ADE$和$△ FCA$中，
$\begin{cases} ∠ DAE = ∠ CFA \quad (\because ∠ CAB = ∠ CFA) \\∠ ADE = ∠ FCA \\DE = CA \end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ FCA$（AAS），
∴ $AD = FC = 1$。
∵ $CD = CA$，$AD = AC + CD = 2AC$，
∴ $AC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}$，$CD = \frac{1}{2}$，$DE = CD = \frac{1}{2}$。
∵ $DE // CB$，
∴ $△ AFC ∼ △ AED$，
∴ $\frac{CF}{DE} = \frac{AC}{AD} = \frac{1}{2}$，
设 $BF = x$，则 $BC = BF + CF = x + 1$。
∵ $DE // CB$，
∴ $\frac{BC}{DE} = \frac{AC}{AD} + 1 = \frac{3}{2}$，
即 $\frac{x + 1}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}$，解得 $x = 3$。
$BF = 3$