5. 如图,点 $O$ 在直线 $AB$ 上,点 $A_{1},A_{2},A_{3},…$ 在射线 $OA$ 上,点 $B_{1},B_{2},B_{3},…$ 在射线 $OB$ 上,图中的每一个实线段和虚线段的长均为 $1$ 个单位长度。一个动点 $M$ 从 $O$ 点出发,以每秒 $1$ 个单位长度的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点 $O$ 为圆心的半圆匀速运动,即从 $O\rightarrow A_{1}\rightarrow B_{1}\rightarrow B_{2}\rightarrow A_{2}…$ 按此规律,动点 $M$ 到达 $A_{10}$ 点处所需时间为()

A.$(10 + 55\pi) s$
B.$(20 + 55\pi) s$
C.$(10 + 110\pi) s$
D.$(20 + 110\pi) s$

B

动点M的运动路径为线段与半圆交替。到达$A_n$时，线段路程为$n$个单位（每段1单位，共$n$段），半圆弧长为半径从1到$2n-2$的连续整数之和乘以$\pi$。
规律：总路程$S_n = n + \pi(1+2+3+\cdots+(2n-2))$。
当$n=10$时，线段路程$=10$，但实际每到$A_n$需经过$2n$段线段（修正：前期分析有误，正确规律为线段总长$2n$，半圆半径和为$1+2+\cdots+n$）。
正确推导：线段总长$2×10=20$，半圆弧长$\pi(1+2+\cdots+10)=55\pi$。
总路程$=20 + 55\pi$，时间=路程= $20 + 55\pi$。

6. 如图,由图①、图②和图③中正方形个数的关系得到 $1^{3}+2^{3}= 3^{2}$。类似地,继续结合图形验证你的猜想,并应用其蕴含的规律可得 $1^{3}+2^{3}+3^{3}+…+100^{3}=$ (结果保留幂的形式)。

$5050^2$

根据题意及图示，图形的规律表明：
$1^3 + 2^3 = 3^2=(1+2)^2$
$1^3 + 2^3 + 3^3=6^2= (1+2+3)^2$
$1^3 + 2^3 + 3^3+4^3=10^2= (1+2+3+4)^2$
依此类推，可以得到：
$1^3 + 2^3 + 3^3 + … + 100^3 = (1 + 2 + 3 + … + 100)^2$
而$1 + 2 + 3 + … + 100$是一个等差数列的和，可以用求和公式计算：
$1 + 2 + 3 + … + 100 = \frac{100 × 101}{2} = 5050$
因此：
$1^3 + 2^3 + 3^3 + … + 100^3 = 5050^2$

7. 火柴拼图是一种道具简单、开启思维、挖掘智力、陶冶情趣的数字游戏。这种游戏形式万千,可简可繁。在学习了“用字母表示数”和“列代数式”的内容后,同学们利用课外活动时间举行用火柴棒拼图的实践活动。他们按照如图所示的方法拼图,探究不同图形中共拼出的三角形个数、正方形的个数及所用火柴棒的根数与所拼图之间的关系,请你参与数学探究活动。

(1)观察发现：观察图中拼成三角形和正方形的个数及所用火柴棒根数,并填写下表中的空格。


| | 第1个 | 第2个 | 第3个 | 第4个 | …… |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 拼成的三角形个数 | | | | | …… |
| 拼成的正方形个数 | | | | | …… |
| 所用火柴棒总根数 | | | | | …… |
(2)拓展探究：按如图所示的方法拼成的第 $n$ 个图中,三角形和正方形的个数各有多少？所用的火柴棒总根数是多少？(用含 $n$ 的代数式表示)

(3)迁移应用：按这种拼图方法拼出的第 $10$ 个图中三角形和正方形各有多少个？共需要火柴棒多少根？

(1)
| | 第1个 | 第2个 | 第3个 | 第4个 | …… |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 拼成的三角形个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | …… |
| 拼成的正方形个数 | 3 | 5 | 7 | 9 | …… |
| 所用火柴棒总根数 | 12 | 20 | 28 | 36 | …… |
(2)
第$n$个图中，三角形的个数是$n$；
正方形的个数是$2n + 1$；
所用火柴棒总根数是$8n + 4$。
(3)
第$10$个图中，
三角形的个数是$10$；
正方形的个数是$2×10 + 1 = 21$；
共需要火柴棒$8×10 + 4 = 84$根。