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1. 下列曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的,其中是中心对称图形的是(
C
)答案
【解析】：
本题主要考查中心对称图形的定义，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转$180^{\circ}$ ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
需要对选项中的图形逐一进行分析，判断其是否满足中心对称图形的定义。
选项A：
观察图形A，可以发现，绕着原点$O$旋转$180^{\circ}$后，旋转后的图形与原图形不重合，所以它不是中心对称图形。
选项B：
对于图形B，绕着原点$O$旋转$180^{\circ}$后，旋转后的图形与原图形不重合，因此它也不是中心对称图形。
选项C：
看图形C，绕着原点$O$旋转$180^{\circ}$后，旋转后的图形与原来的图形完全重合，满足中心对称图形的定义，所以它是中心对称图形。
选项D：
观察图形D，绕着原点$O$旋转$180^{\circ}$后，旋转后的图形与原图形不重合，所以它不是中心对称图形。
【答案】：C。
本题主要考查中心对称图形的定义，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转$180^{\circ}$ ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
需要对选项中的图形逐一进行分析，判断其是否满足中心对称图形的定义。
选项A：
观察图形A，可以发现，绕着原点$O$旋转$180^{\circ}$后，旋转后的图形与原图形不重合，所以它不是中心对称图形。
选项B：
对于图形B，绕着原点$O$旋转$180^{\circ}$后，旋转后的图形与原图形不重合，因此它也不是中心对称图形。
选项C：
看图形C，绕着原点$O$旋转$180^{\circ}$后，旋转后的图形与原来的图形完全重合，满足中心对称图形的定义，所以它是中心对称图形。
选项D：
观察图形D，绕着原点$O$旋转$180^{\circ}$后，旋转后的图形与原图形不重合，所以它不是中心对称图形。
【答案】：C。
2. 将方程$x^{2}= -2x+8$化为一元二次方程的一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是(
A.1,-2,8
B.-1,2,8
C.1,2,-8
D.1,2,8
C
)A.1,-2,8
B.-1,2,8
C.1,2,-8
D.1,2,8
答案
解：将方程$x^{2} = -2x + 8$移项，得$x^{2} + 2x - 8 = 0$。
此方程的二次项系数为$1$，一次项系数为$2$，常数项为$-8$。
答案：C
此方程的二次项系数为$1$，一次项系数为$2$，常数项为$-8$。
答案：C
3. 关于方程$x^{2}-3x-1= 0$的根的情况,下列说法正确的是(
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
A
)A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
答案
【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^{2} - 4ac$。
根据题目给出的方程 $x^{2} - 3x - 1 = 0$，可以确定 $a = 1, b = -3, c = -1$。
计算判别式 $\Delta$：
$\Delta = (-3)^{2} - 4 × 1 × (-1) = 9 + 4 = 13$
由于 $\Delta ＞ 0$，根据判别式的性质，方程有两个不相等的实数根。
【答案】：
A. 有两个不相等的实数根。
本题主要考察一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其判别式为 $\Delta = b^{2} - 4ac$。
根据题目给出的方程 $x^{2} - 3x - 1 = 0$，可以确定 $a = 1, b = -3, c = -1$。
计算判别式 $\Delta$：
$\Delta = (-3)^{2} - 4 × 1 × (-1) = 9 + 4 = 13$
由于 $\Delta ＞ 0$，根据判别式的性质，方程有两个不相等的实数根。
【答案】：
A. 有两个不相等的实数根。
4. 抛物线$y= (x+2)^{2}+1$的顶点坐标是(
A.(2,1)
B.(1,2)
C.(1,-2)
D.(-2,1)
D
)A.(2,1)
B.(1,2)
C.(1,-2)
D.(-2,1)
答案
解：抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\neq0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
对于抛物线$y=(x+2)^2+1$，可变形为$y=[x-(-2)]^2+1$，其中$h=-2$，$k=1$。
所以顶点坐标是$(-2,1)$。
答案：D
对于抛物线$y=(x+2)^2+1$，可变形为$y=[x-(-2)]^2+1$，其中$h=-2$，$k=1$。
所以顶点坐标是$(-2,1)$。
答案：D
5. 为发展教育事业,某区加强了教育经费的投入,2023年投入3000万元,预计2025年投入5000万元. 设该区教育经费的年平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是(
A.$3000(1+x^{2})= 5000$
B.$3000x^{2}= 5000$
C.$3000(1+x)^{2}= 5000$
D.$3000(1+x\%)^{2}= 5000$
C
)A.$3000(1+x^{2})= 5000$
B.$3000x^{2}= 5000$
C.$3000(1+x)^{2}= 5000$
D.$3000(1+x\%)^{2}= 5000$
答案
解：2023年投入3000万元，年平均增长率为x，
2024年投入为$3000(1+x)$万元，
2025年投入为$3000(1+x)(1+x)=3000(1+x)^{2}$万元，
依题意，得$3000(1+x)^{2}=5000$，
故选C。
2024年投入为$3000(1+x)$万元，
2025年投入为$3000(1+x)(1+x)=3000(1+x)^{2}$万元，
依题意，得$3000(1+x)^{2}=5000$，
故选C。
6. 二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图象如图所示,有以下结论：①$c＜0$；②$abc＞0$；③$a-b+c＞0$；④$2a-3b= 0$；⑤$c-4b＜0$. 其中正确结论的个数是(
A.2
B.3
C.4
D.5
B
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
【解析】：本题主要考查二次函数图像的性质。
①：由于图像与$y$轴交于负半轴，
所以，$c＜0$，结论①正确。
②：抛物线开口向上，$a＞0$，对称轴$x=\frac{1}{3} \gt 0$，
因为，$a$与$b$同号，所以，$b \lt 0$，
因为，$c \lt 0$，
所以，$abc＞0$，结论②正确。
③：当$x=-1$时，$y \gt 0$，
所以，$a-b+c \gt 0$，结论③正确。
④：对称轴$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{3} $，
所以，$-3b=2a$，
即，$2a+3b=0$，结论④错误。
⑤：当$x=2$时，$y \gt 0$，
所以，$4a+2b+c \gt 0$，
把$2a=-3b$代入得：$-6b+2b+c \gt 0$，
即，$c-4b \gt 0$，结论⑤错误。
正确的结论有3个。
【答案】：B。
①：由于图像与$y$轴交于负半轴，
所以，$c＜0$，结论①正确。
②：抛物线开口向上，$a＞0$，对称轴$x=\frac{1}{3} \gt 0$，
因为，$a$与$b$同号，所以，$b \lt 0$，
因为，$c \lt 0$，
所以，$abc＞0$，结论②正确。
③：当$x=-1$时，$y \gt 0$，
所以，$a-b+c \gt 0$，结论③正确。
④：对称轴$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{3} $，
所以，$-3b=2a$，
即，$2a+3b=0$，结论④错误。
⑤：当$x=2$时，$y \gt 0$，
所以，$4a+2b+c \gt 0$，
把$2a=-3b$代入得：$-6b+2b+c \gt 0$，
即，$c-4b \gt 0$，结论⑤错误。
正确的结论有3个。
【答案】：B。
7. 若$x= 3$是关于x的一元二次方程$x^{2}-3x+m-1= 0$的一个解,则$m= $
1
.答案
解：将$x = 3$代入方程$x^{2}-3x+m-1 = 0$，得
$3^{2}-3×3+m-1=0$
$9 - 9 + m - 1=0$
$m - 1=0$
解得$m=1$
1
$3^{2}-3×3+m-1=0$
$9 - 9 + m - 1=0$
$m - 1=0$
解得$m=1$
1
8. 将抛物线$y= x^{2}$向上平移3个单位长度,所得抛物线的解析式是
$y = x^2 + 3$
.答案
解：抛物线平移规律为“上加下减常数项”。
将抛物线$y = x^2$向上平移3个单位长度，即在原函数解析式的常数项部分加上3。
所得抛物线的解析式为$y = x^2 + 3$。
答案：$y = x^2 + 3$
将抛物线$y = x^2$向上平移3个单位长度，即在原函数解析式的常数项部分加上3。
所得抛物线的解析式为$y = x^2 + 3$。
答案：$y = x^2 + 3$
9. 如图所示,将$\triangle ABC$绕点C顺时针旋转,点B的对应点为点E,点A的对应点为点D. 当点E恰好落在边AC上时,连接AD. 若$\angle ACB= 30^{\circ}$,则$\angle DAC= $
$75^\circ$
.答案
【解析】：本题考查的知识点是旋转的性质以及等腰三角形的性质。
根据旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等。
所以可得$AC=CD$，$\angle ACB=\angle ACD=30^\circ$，
根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）。
所以$\angle DAC=\angle ADC$，
因为三角形内角和为$180^\circ$，
所以$\angle DAC=\frac{1}{2}×(180^\circ-\angle ACD)$
$=\frac{1}{2}×(180^\circ-30^\circ)$
$=75^\circ$
【答案】：$75^\circ$。
根据旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等。
所以可得$AC=CD$，$\angle ACB=\angle ACD=30^\circ$，
根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）。
所以$\angle DAC=\angle ADC$，
因为三角形内角和为$180^\circ$，
所以$\angle DAC=\frac{1}{2}×(180^\circ-\angle ACD)$
$=\frac{1}{2}×(180^\circ-30^\circ)$
$=75^\circ$
【答案】：$75^\circ$。
