1. 军事演习在平坦的草原上进行,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 $ y(m) $ 与飞行时间 $ x(s) $ 的关系满足 $ y= -\frac{1}{5}x^2 + 10x $,经过s,炮弹到达它的最高点,最高点的高度是m,经过s,炮弹击中地面目标.

解：对于二次函数$y = -\frac{1}{5}x^2 + 10x$，其中$a = -\frac{1}{5}$，$b = 10$，$c = 0$。
1. 对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2×(-\frac{1}{5})} = 25$，所以经过$25$秒，炮弹到达最高点。
2. 将$x = 25$代入函数，得$y = -\frac{1}{5}×25^2 + 10×25 = -\frac{1}{5}×625 + 250 = -125 + 250 = 125$，最高点的高度是$125$米。
3. 令$y = 0$，则$-\frac{1}{5}x^2 + 10x = 0$，$x(-\frac{1}{5}x + 10) = 0$，解得$x_1 = 0$（初始时刻），$x_2 = 50$，所以经过$50$秒，炮弹击中地面目标。
25；125；50

2. 如图所示,某水渠的横截面呈抛物线形,当水面宽 8 m 时,水深 4 m.当水面下降了 1 m 时,水面宽为m.

1. 首先建立平面直角坐标系：
以抛物线的顶点为原点，对称轴为$y$轴建立平面直角坐标系。设抛物线方程为$x^{2}=-2py(p\gt0)$。
已知当水面宽$8m$时，水深$4m$，即点$(4, - 4)$在抛物线上。
2. 然后求抛物线方程：
将点$(4,-4)$代入抛物线方程$x^{2}=-2py$中，根据代入公式$x = 4$，$y=-4$，可得$4^{2}=-2p×(-4)$。
即$16 = 8p$，解得$p = 2$。
所以抛物线方程为$x^{2}=-4y$。
3. 接着求水面下降$1m$时的水面宽：
当水面下降$1m$时，$y=-4 - 1=-5$。
把$y = - 5$代入$x^{2}=-4y$中，得到$x^{2}=-4×(-5)=20$。
解得$x=\pm2\sqrt{5}$。
所以此时水面宽为$\vert x_1 - x_2\vert=\vert2\sqrt{5}-(-2\sqrt{5})\vert = 4\sqrt{5}$ $m$。
故答案为$4\sqrt{5}$。

3. 现要修建一条隧道,其截面为抛物线形,如图所示.线段 $ OE $ 表示水平的路面,以 $ O $ 为坐标原点,以 $ OE $ 所在直线为 $ x $ 轴,以过点 $ O $ 垂直于 $ x $ 轴的直线为 $ y $ 轴,建立平面直角坐标系.设计要求 $ OE= 10 \, m $,该抛物线的顶点 $ P $ 到 $ OE $ 的距离为 9 m.
(1)求满足设计要求的抛物线的函数解析式.
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点 $ A,B $ 处分别安装照明灯.已知点 $ A,B $ 到 $ OE $ 的距离均为 6 m,求点 $ A,B $ 的坐标.

【解析】：本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，需要根据给定的条件求出抛物线的函数解析式，再根据解析式求出特定点的坐标。
（1）求满足设计要求的抛物线的函数解析式
已知抛物线的顶点$P$到$OE$的距离为$9m$，$OE = 10m$，所以顶点$P$的坐标为$(5,9)$。
因为抛物线顶点式为$y=a(x - h)^2 + k$（$a\neq0$，$(h,k)$为顶点坐标），所以设抛物线的函数解析式为$y=a(x - 5)^2 + 9$。
又因为抛物线过原点$(0,0)$，将$(0,0)$代入$y=a(x - 5)^2 + 9$可得：
$0=a(0 - 5)^2 + 9$
$0 = 25a + 9$
$25a=-9$
解得$a=-\frac{9}{25}$。
所以满足设计要求的抛物线的函数解析式为$y=-\frac{9}{25}(x - 5)^2 + 9$，展开可得$y=-\frac{9}{25}x^2+\frac{18}{5}x$。
（2）求点$A$，$B$的坐标
已知点$A$，$B$到$OE$的距离均为$6m$，即$y = 6$，将$y = 6$代入抛物线的函数解析式$y=-\frac{9}{25}(x - 5)^2 + 9$中，可得：
$6=-\frac{9}{25}(x - 5)^2 + 9$
$\frac{9}{25}(x - 5)^2 = 9 - 6$
$\frac{9}{25}(x - 5)^2 = 3$
$(x - 5)^2 = 3×\frac{25}{9}$
$(x - 5)^2=\frac{25}{3}$
$x - 5=\pm\sqrt{\frac{25}{3}}=\pm\frac{5\sqrt{3}}{3}$
当$x - 5=\frac{5\sqrt{3}}{3}$时，$x = 5+\frac{5\sqrt{3}}{3}$；
当$x - 5=-\frac{5\sqrt{3}}{3}$时，$x = 5-\frac{5\sqrt{3}}{3}$。
所以点$A$，$B$的坐标分别为$(5 - \frac{5\sqrt{3}}{3},6)$，$(5 + \frac{5\sqrt{3}}{3},6)$。
【答案】：
(1)$y=-\frac{9}{25}x^2+\frac{18}{5}x$；
(2)$A(5 - \frac{5\sqrt{3}}{3},6)$，$B(5 + \frac{5\sqrt{3}}{3},6)$。

4. 如图所示,隧道的横截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是 8 m,宽是 2 m,抛物线的解析式为 $ y= -\frac{1}{4}x^2 + 4 $.现有一辆货车车高 4 m,宽 2 m.
(1)如果该隧道设单行道,该货车能通过隧道吗？
(2)如果该隧道内设双行道,中间遇车间隙为 0.4 m,那么该货车能否通过隧道？

1. （1）
解：已知货车宽$2m$，当$x = 1$时（因为单行道，货车在中间行驶，$x$取$1$），代入抛物线解析式$y =-\frac{1}{4}x^{2}+4$。
根据代入求值公式$y =-\frac{1}{4}×1^{2}+4$。
先计算$\frac{1}{4}×1^{2}=\frac{1}{4}$，则$y = 4-\frac{1}{4}=\frac{16 - 1}{4}=\frac{15}{4}=3.75m$。
货车车高$4m$，隧道高度为抛物线$y$值加上长方形的宽（长方形宽$2m$），$3.75 + 2=5.75m\gt4m$。
所以该货车能通过隧道。
2. （2）
解：已知双行道，中间遇车间隙为$0.4m$，货车宽$2m$，则货车行驶时$x$的值为$\frac{2 + 0.4+2}{2}=2.2m$。
把$x = 2.2$代入抛物线解析式$y =-\frac{1}{4}x^{2}+4$，得$y=-\frac{1}{4}×(2.2)^{2}+4$。
先计算$(2.2)^{2}=4.84$，$\frac{1}{4}×4.84 = 1.21$，则$y = 4-1.21 = 2.79m$。
隧道高度为$y + 2$（长方形宽$2m$），$2.79+2=4.79m\gt4m$。
所以（1）能通过；（2）能通过。