【例题】李乐同学在校园里要测量一棵大树的高度,他发现树旁有一根2.5m的电线杆,当他与大树和电线杆站在同一条直线上时,他调整前后距离,恰好使他的头顶、树顶、电线杆顶部在同一直线上,且他和电线杆间的水平距离为3m. 电线杆与树间的水平距离为10m,同时借助他1.7m的身高,确定了树的高度.你能分析他是如何计算出来的吗?
【思路点拨】如图,电线杆AB= 2.5m,人高EF= 1.7m,BD= 10m,FB= 3m,这样可以过E作EH//FD分别交AB,CD于G,H,再利用相似三角形求CH的长.
【解答】
【学法点睛】测量物体高度(或长度),通常构造图甲、乙、丙所示的图形,用相似三角形求解.

本题答案为树高$5\frac{1}{6}$米 。

过点$E$作$EH\perp CD$于$H$，交$AB$于$G$。
因为$AB\perp BD$，$CD\perp BD$，$EH\perp CD$，$EH\perp AB$，所以四边形$EFDH$、$EGBF$是矩形。
则$EF = GB = DH=1.7$米，$EH = FD = 3 + 10=13$米，$AG=AB - GB = 2.5 - 1.7 = 0.8$米。
因为$\triangle AGE\sim\triangle CHE$，所以$\frac{AG}{CH}=\frac{EG}{EH}$。
已知$EG = FB = 3$米，$EH = 13$米，$AG = 0.8$米，代入$\frac{AG}{CH}=\frac{EG}{EH}$可得：
$CH=\frac{AG× EH}{EG}=\frac{0.8×13}{3}=\frac{10.4}{3}$（米）。
那么树高$CD = CH + DH=\frac{10.4}{3}+1.7=\frac{10.4 + 5.1}{3}=\frac{15.5}{3}= 5\frac{1}{6}$（米）。

1. 如图①,要测量A,B两点间的距离,在O点设桩,取OA的中点C,OB的中点D,测得CD= 31.4m,则AB等于 ()

A.60 m
B.62.8 m
C.57 m
D.34 m

∵C是OA的中点，D是OB的中点。
∴CD是△AOB的中位线。
∴AB=2CD=2×31.4=62.8（m）。
故选B。

2. 如图②,斜靠在阳台上的梯子AB,梯脚B距墙脚E 2.8 m,梯上D点距墙壁2.6 m,BD= 0.55 m,若阳台宽为1.2 m,则这架梯子AB的长为 ()

A.3.8 m
B.4.2 m
C.4.4 m
D.4.55 m

C

解：
设墙脚为$E$，以$E$为原点，地面为$x$轴，墙壁为$y$轴建立坐标系。
梯脚$B$距墙脚$E$的水平距离$BE=2.8\,m$，则$B(2.8,0)$。
阳台宽$1.2\,m$，梯子顶端$A$靠在阳台边缘，故$A$到墙壁的水平距离为$1.2\,m$，设$A(1.2,h)$（$h$为$A$点高度）。
梯上$D$点距墙壁$2.6\,m$，则$D$的横坐标为$2.6$，设$D(2.6,k)$（$k$为$D$点高度）。
由于$A$、$D$、$B$三点共线，水平方向上：
$A$到$B$的水平距离：$2.8 - 1.2 = 1.6\,m$；
$A$到$D$的水平距离：$2.6 - 1.2 = 1.4\,m$；
$D$到$B$的水平距离：$2.8 - 2.6 = 0.2\,m$。
因此，线段$AD$与$DB$的长度比等于其水平距离比：
$\frac{AD}{DB} = \frac{1.4}{0.2} = \frac{7}{1}$
设$AD = 7k$，$DB = k$，已知$BD = 0.55\,m$，则$k = 0.55\,m$。
梯子总长$AB = AD + DB = 7k + k = 8k = 8 × 0.55 = 4.4\,m$。

3. 如图③,身高1.6 m的小华站在距离路灯杆5 m的C点处,测得她在灯光下的影长CD为2.5 m,则路灯的高度AB为m.

由于$AB\perp BD$，$EC\perp BD$。
所以$\angle ABD = \angle ECD = 90°$。
又因为$\angle ADB = \angle EDC$（对顶角相等）。
所以$\triangle ABD \sim \triangle ECD$（相似判定定理AA）。
所以$\frac{AB}{EC} = \frac{BD}{CD}$。
即$\frac{AB}{1.6} = \frac{5 + 2.5}{2.5}$。
解得$AB = 4.8$。
故答案为$4.8$。