例1 已知正比例函数 $ y = kx $。
(1) 若函数图象经过第二、四象限,求 $ k $ 的取值范围；
(2) 若点 $ (1, -2) $ 在它的图象上,求它的表达式。
[解答] (1) 因为函数图象经过第二、四象限,所以 $ k ＜ 0 $。
(2) 当 $ x = 1 $, $ y = -2 $ 时, $ k = -2 $,所以它的表达式为 $ y = -2x $。

(1) 因为函数图象经过第二、四象限，所以 $ k ＜ 0 $。
(2) 因为点 $ (1, -2) $ 在函数图象上，所以将 $ x = 1 $，$ y = -2 $ 代入 $ y = kx $，得 $ -2 = k × 1 $，解得 $ k = -2 $，所以表达式为 $ y = -2x $。

例2 如图,已知正比例函数 $ y = kx $ 经过点 $ A $,点 $ A $ 在第四象限,过点 $ A $ 作 $ AH \perp x $ 轴,垂足为点 $ H $,点 $ A $ 的横坐标为 $ 3 $,且 $ \triangle AOH $ 的面积为 $ 3 $。
(1) 求正比例函数的表达式。
(2) 在 $ x $ 轴上能否找到一点 $ P $,使 $ \triangle AOP $ 的面积为 $ 5 $？若存在,求点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由。
[解答] (1) 因为点 $ A $ 的横坐标为 $ 3 $,且 $ \triangle AOH $ 的面积为 $ 3 $,
所以点 $ A $ 的纵坐标为 $ -2 $,所以点 $ A $ 的坐标为 $ (3, -2) $。
因为正比例函数 $ y = kx $ 经过点 $ A $,
所以 $ 3k = -2 $,解得 $ k = -\frac{2}{3} $,
所以正比例函数的表达式是 $ y = -\frac{2}{3}x $。
(2) 能。
因为 $ \triangle AOP $ 的面积为 $ 5 $,点 $ A $ 的坐标为 $ (3, -2) $,所以 $ OP = 5 $,
所以点 $ P $ 的坐标为 $ (5, 0) $ 或 $ (-5, 0) $。

(1) 因为点A的横坐标为3，且AH⊥x轴，所以OH=3。
因为△AOH的面积为3，所以$\frac{1}{2} × OH × |AH| = 3$，即$\frac{1}{2} × 3 × |AH| = 3$，解得$|AH|=2$。
因为点A在第四象限，所以点A的纵坐标为-2，点A的坐标为(3,-2)。
因为正比例函数$y=kx$经过点A，所以$3k=-2$，解得$k=-\frac{2}{3}$。
所以正比例函数的表达式是$y=-\frac{2}{3}x$。
(2) 存在。
设点P的坐标为$(m,0)$，则OP=$|m|$。
因为△AOP的面积为5，点A的坐标为(3,-2)，所以$\frac{1}{2} × |m| × |-2| = 5$，即$|m|=5$，解得$m=5$或$m=-5$。
所以点P的坐标为(5,0)或(-5,0)。