6. 如图,抛物线 $ y = a(x + 1)^2 $ 的顶点为 $ A $,与 $ y $ 轴的负半轴交于点 $ B $,且 $ OB = OA $。
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 若点 $ C(-3, b) $ 在该抛物线上,求 $ S_{\triangle ABC} $ 的值。

(1)$y=-(x+1)^2$；(2)$3$。

(1) ∵抛物线$y=a(x+1)^2$，∴顶点$A(-1,0)$。
令$x=0$，则$y=a(0+1)^2=a$，∴点$B(0,a)$。
∵点$B$在$y$轴负半轴，∴$a＜0$。
$OA=|-1|=1$，$OB=|a|=-a$，由$OB=OA$得$-a=1$，∴$a=-1$。
∴抛物线解析式为$y=-(x+1)^2$。
(2) ∵点$C(-3,b)$在抛物线上，代入$x=-3$得：
$b=-(-3+1)^2=-(-2)^2=-4$，∴$C(-3,-4)$。
已知$A(-1,0)$，$B(0,-1)$，$C(-3,-4)$。
由坐标得：
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\left| -1×(-1 - (-4)) + 0×(-4 - 0) + (-3)×(0 - (-1)) \right|$
$=\frac{1}{2}\left| -1×3 + 0 + (-3)×1 \right|=\frac{1}{2}\left| -3 - 3 \right|=\frac{1}{2}×6=3$。

7. (2024 南康模拟) 已知函数 $ y_1 = a(x - 1)^2 $,$ y_2 = a(x - 2)^2 $,$ y_3 = a(x - 3)^2 $,且 $ a ＞ 0 $。直线 $ x = m $ 的图象与函数 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的图象分别交于点 $ A(m, c_1) $,$ B(m, c_2) $,$ C(m, c_3) $,下列说法正确的是()
A.若 $ m ＜ 1 $,则 $ c_2 ＜ c_3 ＜ c_1 $
B.若 $ 1 ＜ m ＜ 2 $,则 $ c_1 ＜ c_2 ＜ c_3 $
C.若 $ 2 ＜ m ＜ 3 $,则 $ c_3 ＜ c_2 ＜ c_1 $
D.若 $ m ＞ 3 $,则 $ c_3 ＜ c_2 ＜ c_1 $

D

因为$a＞0$，二次函数$y=a(x-h)^2$开口向上，点到对称轴距离越近，函数值越小。$c_1=a(m-1)^2$，$c_2=a(m-2)^2$，$c_3=a(m-3)^2$，比较$(m-1)^2$，$(m-2)^2$，$(m-3)^2$大小即可。
当$m＞3$时，$m-1＞m-2＞m-3＞0$，则$(m-1)^2＞(m-2)^2＞(m-3)^2$，即$c_1＞c_2＞c_3$，故$c_3＜c_2＜c_1$。

8. 如图,二次函数 $ y = (x + 4)^2 $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $。
(1) 求点 $ A $,$ B $ 的坐标；
(2) 求该抛物线的对称轴；
(3) 平面直角坐标系内是否存在一点 $ P $,使以 $ P $,$ A $,$ O $,$ B $ 为顶点的四边形为平行四边形？若存在,求出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

(1)A(-4,0)，B(0,16)；(2)直线x=-4；(3)存在，P(-4,-16)或(4,16)或(-4,16)。

(1) 对于点A（与x轴交点），令y=0，得0=(x+4)²，解得x=-4，∴A(-4,0)；对于点B（与y轴交点），令x=0，得y=(0+4)²=16，∴B(0,16)。
(2) 二次函数y=(x+4)²为顶点式，其对称轴为直线x=-4。
(3) 存在，分三种情况：
① 以AO、PB为对角线，AO中点(-2,0)，则PB中点(-2,0)，设P(x,y)，得(x+0)/2=-2，(y+16)/2=0，解得P(-4,-16)；
② 以AP、OB为对角线，OB中点(0,8)，则AP中点(0,8)，得(-4+x)/2=0，(0+y)/2=8，解得P(4,16)；
③ 以AB、OP为对角线，AB中点(-2,8)，则OP中点(-2,8)，得(x+0)/2=-2，(y+0)/2=8，解得P(-4,16)。
综上，P点坐标为(-4,-16)或(4,16)或(-4,16)。

二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的图象仍是一条,顶点坐标是,对称轴是直线,它与二次函数 $ y = ax^2 $ 图象的形状大小、开口方向完全相同,只是位置发生了移动。将二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象先通过上下移动 $ |k| $ 个单位长度,得到函数的图象,再通过左右平移 $ |h| $ 个单位长度得到函数的图象。

1. 首先明确二次函数$y = a(x - h)^{2}+k$的图象性质：
二次函数$y = a(x - h)^{2}+k(a\neq0)$的图象仍是一条抛物线。
根据顶点式$y = a(x - h)^{2}+k(a\neq0)$，其顶点坐标是$(h,k)$。
对称轴是直线$x = h$。
2. 然后根据函数图象平移规律（上加下减常数项，左加右减自变量）：
将二次函数$y = ax^{2}$的图象先通过上下移动$\vert k\vert$个单位长度：
当$k\gt0$时，向上平移$k$个单位，得到$y = ax^{2}+k$；当$k\lt0$时，向下平移$\vert k\vert$个单位，得到$y = ax^{2}+k$（因为$y = ax^{2}-(-k)=ax^{2}+k$），所以得到函数$y = ax^{2}+k$的图象。
再将$y = ax^{2}+k$的图象通过左右平移$\vert h\vert$个单位长度：
当$h\gt0$时，向右平移$h$个单位，根据“左加右减自变量”，把$x$变为$x - h$，得到$y=a(x - h)^{2}+k$；当$h\lt0$时，向左平移$\vert h\vert$个单位，把$x$变为$x-(-\vert h\vert)=x - h$（因为$h\lt0$，$\vert h\vert=-h$），得到$y=a(x - h)^{2}+k$。
故答案依次为：抛物线；$(h,k)$；$x = h$；$y = ax^{2}+k$；$y=a(x - h)^{2}+k$。

思考
(1) 画二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的图象时,一般要取哪几个关键点？
(2) 如何确定抛物线与 $ x $ 轴的交点坐标？

(1)顶点(h,k)，与y轴交点，关于对称轴对称的点；(2)令y=0解方程a(x-h)²+k=0得横坐标，纵坐标为0。

(1)顶点(h,k)，与y轴交点，以及关于对称轴对称的点。
(2)令y=0，解方程a(x-h)²+k=0，所得解为交点的横坐标，纵坐标为0。