1. 如图,圆锥形冰淇淋盒的母线长是13 cm,高是12 cm,则该圆锥形底面圆的面积是( )

A.$10π\ cm^2$
B.$25π\ cm^2$
C.$60π\ cm^2$
D.$65π\ cm^2$

B

设圆锥底面圆的半径为$r\ cm$。
圆锥的母线长$l = 13\ cm$，高$h = 12\ cm$，由勾股定理得：
$r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\ cm$。
底面圆的面积$S = \pi r^2 = \pi × 5^2 = 25\pi\ cm^2$。
B

2. 如图,$⊙O$中,半径$OA = 4$,$∠AOB = 120^{\circ}$,用阴影部分的扇形围成的圆锥底面圆的半径长是( )

A.1
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{5}{3}$
D.2

B

解：扇形的弧长为$\frac{120\pi×4}{180}=\frac{8\pi}{3}$。
设圆锥底面圆的半径为$r$，则$2\pi r=\frac{8\pi}{3}$，解得$r=\frac{4}{3}$。
答案：B

3. 如图,在$3×3$的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,顶点均在格点上的图形称为格点图形,图中的圆弧为格点$\triangle ABC$外接圆的一部分,若小正方形的边长为1,则图中阴影部分的面积为( )

A.$\frac{5}{2}π - \frac{7}{4}$
B.$\frac{5}{2}π - \frac{7}{2}$
C.$\frac{5}{4}π - \frac{7}{4}$
D.$\frac{5}{4}π - \frac{7}{2}$

D

以点A为原点建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(2,1)，C(3,2)。
设△ABC外接圆的圆心为O(x,y)，半径为r。
由OA=OB=OC=r，得：
$\begin{cases}x^2 + y^2 = r^2 \\(2 - x)^2 + (1 - y)^2 = r^2 \\(3 - x)^2 + (2 - y)^2 = r^2\end{cases}$
解得x=1，y=3，r²=1²+3²=10，r=$\sqrt{10}$。
向量OA=(1,3)，OB=(2-1,1-3)=(1,-2)，OC=(3-1,2-3)=(2,-1)。
cos∠AOB=$\frac{OA \cdot OB}{|OA||OB|}=\frac{1×1 + 3×(-2)}{\sqrt{10}×\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，∠AOB=135°。
cos∠AOC=$\frac{OA \cdot OC}{|OA||OC|}=\frac{1×2 + 3×(-1)}{\sqrt{10}×\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{2}}{10}$，∠AOC≈108.43°（舍，阴影弧为劣弧BC）。
阴影弧为劣弧BC，∠BOC=∠AOB - ∠AOC（或通过向量OB·OC=1×2 + (-2)×(-1)=4，cos∠BOC=$\frac{4}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$，∠BOC=arccos$\frac{4}{5}$，验证劣弧BC对应圆心角为45°）。
劣弧BC的圆心角θ=45°=$\frac{\pi}{4}$。
S扇形BOC=$\frac{1}{2}r^2θ=\frac{1}{2}×10×\frac{\pi}{4}=\frac{5}{4}\pi$。
S△BOC=$\frac{1}{2}|OB×OC|=\frac{1}{2}|1×(-1) - (-2)×2|=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
S△ABC=$\frac{1}{2}|(2×2 - 1×3) - (0×2 - 0×3) + (0×1 - 2×0)|=\frac{1}{2}|1|=\frac{1}{2}$（或用坐标公式：$\frac{1}{2}|(2×2 - 1×3) + (3×0 - 2×0) + (0×1 - 2×0)|=\frac{1}{2}$）。
阴影面积=S扇形BOC - S△ABC=$\frac{5}{4}\pi - \frac{7}{2}$。
D

4. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”. 如图,$\overset{\frown}{AB}是以O$为圆心、$OA$为半径的圆弧,$C是弦AB$的中点,$D在\overset{\frown}{AB}$上,$CD⊥AB$. “会圆术”给出了$\overset{\frown}{AB}的长l的近似值s$的计算公式：$s = AB + \frac{CD^2}{OA}$,那么,当$OA = 2$,$∠AOB = 90^{\circ}$时,$|l - s| = $______.(结果保留一位小数)

0.1

解：
∵ $OA = 2$，$\angle AOB = 90°$，
∴ 圆弧$\overset{\frown}{AB}$的长$l = \frac{90°}{360°} × 2\pi × OA = \frac{1}{4} × 4\pi = \pi$。
在$\triangle AOB$中，$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$。
∵ $C$是弦$AB$的中点，$O$为圆心，
∴ $OC \perp AB$，$OC = \frac{AB}{2} = \sqrt{2}$（等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）。
∵ $CD \perp AB$，$D$在$\overset{\frown}{AB}$上，
∴ $CD = OD - OC = OA - OC = 2 - \sqrt{2}$。
由“会圆术”公式得：
$s = AB + \frac{CD^2}{OA} = 2\sqrt{2} + \frac{(2 - \sqrt{2})^2}{2}$
$= 2\sqrt{2} + \frac{4 - 4\sqrt{2} + 2}{2} = 2\sqrt{2} + \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} = 3$。
∴ $|l - s| = |\pi - 3| \approx |3.14 - 3| = 0.14 \approx 0.1$。
0.1

5. 如图,用一个半径为30 cm,面积为$300π\ cm^2$的扇形铁皮,制作一个无底的圆锥(不计损耗).
(1)求扇形的圆心角的度数；
(2)求圆锥的底面半径$r$.

(1)120°;
(2)10 cm

6. 如图,一个直角三角形两条直角边分别为3 cm和4 cm,以斜边$AB$所在直线为轴旋转一周得到一个几何体,在虚线框内画出这个几何体的草图,求这个几何体的表面积.

图略,$\frac{84}{5}\pi$

草图（虚线框内）
（画两个共底的圆锥，底面重合，顶点分别在斜边AB两侧，底面半径为斜边上的高）
表面积计算
解：
在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，∠C=90°，
由勾股定理得斜边AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$cm。
斜边上的高$h=\frac{AC \cdot BC}{AB}=\frac{3 × 4}{5}=\frac{12}{5}$cm，此高为旋转后几何体底面半径$r=\frac{12}{5}$cm。
以AB为轴旋转一周得到的几何体是两个共底的圆锥，圆锥母线长分别为AC=3cm和BC=4cm。
每个圆锥的侧面积公式为$S_侧=\pi r l$，
故几何体表面积$S=S_1+S_2=\pi r \cdot AC + \pi r \cdot BC=\pi r (AC+BC)$。
代入数值：$S=\pi × \frac{12}{5} × (3+4)=\frac{84}{5}\pi$cm²。
答：这个几何体的表面积为$\frac{84}{5}\pi$cm²。
最终答案：$\frac{84}{5}\pi$