11. (★★)如图26.1-11,直线 $ y = kx $ 与双曲线 $ y = \frac{2}{x}(x ＞ 0) $ 交于点 $ A(1,a) $,则 $ k = $。

2

因为点$A(1,a)$在双曲线$y = \frac{2}{x}(x＞0)$上，所以将$x=1$代入双曲线方程得$a = \frac{2}{1}=2$，即点$A$的坐标为$(1,2)$。又因为点$A$在直线$y = kx$上，将$A(1,2)$代入直线方程得$2 = k×1$，解得$k=2$。

12. (★★)如图26.1-12,已知直线 $ y = k_1x + b $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别相交于 $ P,Q $ 两点,与 $ y = \frac{k_2}{x} $ 的图象相交于 $ A(-2,m),B(1,n) $ 两点,连接 $ OA,OB $。有以下结论：① $ k_1k_2 ＜ 0 $；② $ m + \frac{1}{2}n = 0 $；③ $ S_{\triangle AOP} = S_{\triangle BOQ} $；④不等式 $ k_1x + b ＞ \frac{k_2}{x} $ 的解集是 $ x ＜ -2 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $。其中正确结论的序号是。

②③④

① 点A(-2,m)、B(1,n)在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$上，得$k_2=-2m=n$，即$n=-2m$。点A、B在直线$y=k_1x+b$上，代入得$\begin{cases}m=-2k_1+b\\n=k_1+b\end{cases}$，解得$k_1=-m$，$k_2=n=-2m$，则$k_1k_2=(-m)(-2m)=2m^2＞0$，①错误。
② 由$n=-2m$，得$m+\frac{1}{2}n=m+\frac{1}{2}(-2m)=0$，②正确。
③ 直线与x轴交于$P(-\frac{b}{k_1},0)$，与y轴交于$Q(0,b)$。$S_{\triangle AOP}=\frac{1}{2}\cdot|-\frac{b}{k_1}|\cdot|m|=\frac{1}{2}\cdot|\frac{b}{k_1}|\cdot|m|$，$S_{\triangle BOQ}=\frac{1}{2}\cdot|b|\cdot1$。由$k_1=-m$，得$|\frac{b}{k_1}|\cdot|m|=|b|$，故$S_{\triangle AOP}=S_{\triangle BOQ}$，③正确。
④ 联立直线与反比例函数得交点$A(-2,m)$、$B(1,n)$，结合图像（$k_1k_2＞0$，直线与反比例函数分支位置），不等式$k_1x+b＞\frac{k_2}{x}$的解集为$x＜-2$或$0＜x＜1$，④正确。

13. (★★)在平面直角坐标系中,将点 $ P(5,3) $ 向左平移 6 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,恰好在函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上,则此函数的图象分布在第象限。

二、四

点P(5,3)向左平移6个单位长度得(5-6,3)=(-1,3)，再向下平移1个单位长度得(-1,3-1)=(-1,2)。将(-1,2)代入y=k/x，得2=k/(-1)，解得k=-2。因为k=-2＜0，所以函数y=-2/x的图象分布在第二、四象限。

14. (★★)(2023·荆州)如图26.1-13,点 $ A(2,2) $ 在双曲线 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 上,将直线 $ OA $ 向上平移若干个单位长度交 $ y $ 轴于点 $ B $,交双曲线于点 $ C $。若 $ BC = 2 $,则点 $ C $ 的坐标是。

$(\sqrt{2},2\sqrt{2})$

∵点$A(2,2)$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，$\therefore k=2×2=4$，双曲线解析式为$y=\frac{4}{x}$。
直线$OA$过原点$O(0,0)$和$A(2,2)$，设其解析式为$y=mx$，代入$A(2,2)$得$m=1$，即$OA:y=x$。
设直线$OA$向上平移$b$个单位，平移后直线解析式为$y=x+b$，交$y$轴于$B(0,b)$。
设点$C(x,y)$为平移后直线与双曲线的交点，则$y=x+b$且$y=\frac{4}{x}$，故$C(x,x+b)$。
由$BC=2$，点$B(0,b)$与$C(x,x+b)$的距离：$\sqrt{(x-0)^2+[(x+b)-b]^2}=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}x$。
$\because BC=2$，$\therefore \sqrt{2}x=2$，解得$x=\sqrt{2}$。
$\therefore y=\frac{4}{x}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，即点$C(\sqrt{2},2\sqrt{2})$。

15. (★★)已知正比例函数 $ y_1 = ax(a \neq 0) $ 与反比例函数 $ y_2 = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象在第一象限内交于点 $ A(2,1) $。
(1)求 $ a,k $ 的值；
(2)在如图26.1-14所示的直角坐标系中画出这两个函数的大致图象,并根据图象直接回答 $ y_1 ＞ y_2 $ 时 $ x $ 的取值范围。
]

(1)
把点 $A(2,1)$ 代入 $y_1 = ax$，得 $1 = 2a$，解得 $a = \frac{1}{2}$。
把点 $A(2,1)$ 代入 $y_2 = \frac{k}{x}$，得 $1 = \frac{k}{2}$，解得 $k = 2$。
(2)
正比例函数 $y_1=\frac{1}{2}x$ 的图象是过原点与点 $A(2,1)$ 的一条直线；反比例函数 $y_2 = \frac{2}{x}$ 的图象是以第一、三象限角平分线为对称轴，过点 $A(2,1)$ 的双曲线。
由图象可知，当 $y_1＞y_2$ 时，$x$ 的取值范围是 $-2＜x＜0$ 或 $x＞2$。

16. (★★★)如图26.1-15,一次函数 $ y = mx + n(m \neq 0) $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象交于第二、四象限的点 $ A(-2,a) $ 和点 $ B(b,-1) $,过点 $ A $ 作 $ x $ 轴的垂线,垂足为 $ C $,$ \triangle AOC $ 的面积为 4。
(1)分别求出 $ a $ 和 $ b $ 的值；
(2)结合图象,直接写出 $ mx + n ＞ \frac{k}{x} $ 时 $ x $ 的取值范围；
(3)在 $ y $ 轴上取点 $ P $,求出使 $ PB - PA $ 取得最大值时点 $ P $ 的坐标。
]

(1)∵点A(-2,a)，AC⊥x轴于C，∴C(-2,0)。△AOC面积=1/2×OC×AC=4，OC=2，AC=|a|，∴1/2×2×|a|=4，|a|=4。A在第二象限，a＞0，∴a=4。A(-2,4)在y=k/x上，4=k/(-2)，k=-8，反比例函数为y=-8/x。B(b,-1)在y=-8/x上，-1=-8/b，b=8。∴a=4，b=8。
(2)x＜-2或0＜x＜8。
(3)作A关于y轴对称点A'(2,4)，设直线A'B：y=kx+c，代入A'(2,4)、B(8,-1)得：{4=2k+c,-1=8k+c}，解得k=-5/6，c=17/3。直线A'B：y=-5/6x+17/3，与y轴交于P(0,17/3)。∴P(0,17/3)。