1. 抛物线 $ y = x^{2} + 6x + 8 $ 与坐标轴交点的个数为()
A.0
B.1
C.2
D.3

D

首先，求抛物线与$x$轴的交点，即令$y=0$，得到方程：
$x^{2} + 6x + 8 = 0$，
因式分解得：
$(x+4)(x+2) = 0$，
解得：
$x_{1} = -4$，$x_{2} = -2$，
所以，抛物线与$x$轴有两个交点，分别为$(-4, 0)$和$(-2, 0)$。
接着，求抛物线与$y$轴的交点，即令$x=0$，得到：
$y = 0^{2} + 6 × 0 + 8 = 8$，
所以，抛物线与$y$轴的交点为$(0, 8)$。
综上，抛物线与坐标轴共有3个交点。

2. 函数 $ y = ax^{2} $ 与 $ y = -ax + b $ 的图象可能是()

C

函数$y=ax^2$是二次函数，其图象是抛物线，顶点在原点，开口方向由$a$的符号决定，
当$a\gt0$时，开口向上，当$a\lt0$时，开口向下。
函数$y = -ax + b$是一次函数，图象是直线，斜率$k=-a$。
选项A：从抛物线开口向上可知$a\gt0$，则直线斜率$k = -a\lt0$，直线应该是下降的，而此选项中直线是上升的，所以A选项错误。
选项B：抛物线开口向下，可知$a\lt0$，则直线斜率$k=-a\gt0$，直线应该是上升的，此选项中直线是下降的，所以B选项错误。
选项C：抛物线开口向下，可知$a\lt0$，则直线斜率$k = -a\gt0$，直线是上升的，且当$x = 0$时，直线$y=b$，对于抛物线$y = ax^2$，当$x = 0$时，$y = 0$，直线与$y$轴交点在原点或原点上方都符合，所以C选项正确。
选项D：抛物线开口向下，可知$a\lt0$，则直线斜率$k=-a\gt0$，直线应该是上升的，而此选项中直线是下降的，所以D选项错误。

3. 抛物线 $ y = -2x^{2} + 1 $ 的对称轴是()
A.直线 $ x = \frac{1}{2} $
B.直线 $ x = -\frac{1}{2} $
C.$ y $ 轴
D.直线 $ x = 2 $

C

对于抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $，其对称轴为 $ x = -\frac{b}{2a} $。
在抛物线 $ y = -2x^2 + 1 $ 中，$ a = -2 $，$ b = 0 $，代入公式得对称轴为 $ x = -\frac{0}{2 × (-2)} = 0 $，即 $ y $ 轴。

4. 小胡同学的身高为 $ 1.6 \, m $,某一时刻她在阳光下的影长为 $ 2 \, m $,与她邻近的一根旗杆的影长为 $ 5 \, m $,则这根旗杆的高为()
A.$ 3 \, m $
B.$ 3.6 \, m $
C.$ 4 \, m $
D.$ 4.8 \, m $

C

本题可根据在同一时刻，不同物体的实际高度和它的影长的比值是相同的这一原理来求解旗杆的高度。
设旗杆的高为$x$米。
已知小胡同学身高$1.6$米，影长为$2$米，旗杆影长为$5$米，由于同一时刻物高与影长成正比例，则可列出比例式：
$\frac{1.6}{2}=\frac{x}{5}$
交叉相乘可得：$2x = 1.6×5$
即$2x = 8$
两边同时除以$2$，解得$x = 4$。

5. 若抛物线 $ y = ax^{2} + 2ax + 4 \, (a ＜ 0) $ 上有 $ A\left(-\frac{3}{2}, y_{1}\right) $,$ B(-\sqrt{2}, y_{2}) $,$ C(\sqrt{2}, y_{3}) $ 三点,则 $ y_{1} $,$ y_{2} $,$ y_{3} $ 的大小关系为()
A.$ y_{1} ＜ y_{2} ＜ y_{3} $
B.$ y_{3} ＜ y_{2} ＜ y_{1} $
C.$ y_{3} ＜ y_{1} ＜ y_{2} $
D.$ y_{2} ＜ y_{3} ＜ y_{1} $

C

抛物线对称轴为直线$x=-\frac{2a}{2a}=-1$，$a＜0$，抛物线开口向下。点$A(-\frac{3}{2},y_1)$到对称轴距离为$|-\frac{3}{2}-(-1)|=\frac{1}{2}$，点$B(-\sqrt{2},y_2)$到对称轴距离为$|-\sqrt{2}-(-1)|=\sqrt{2}-1\approx0.414$，点$C(\sqrt{2},y_3)$到对称轴距离为$|\sqrt{2}-(-1)|=\sqrt{2}+1\approx2.414$。距离对称轴越近，函数值越大，因为$\sqrt{2}+1＞\frac{1}{2}＞\sqrt{2}-1$，所以$y_3＜y_1＜y_2$。

6. 如图,小明将两水平线 $ l_{1} $,$ l_{2} $ 中的一条当成 $ x $ 轴,且向右为正方向,将 $ l_{3} $,$ l_{4} $ 中的一条当成 $ y $ 轴,且向上为正方向,并在此坐标平面中画出二次函数 $ y = ax^{2} - 2a^{2}x + 1 $ 的图象,则()

A.$ l_{1} $ 为 $ x $ 轴,$ l_{3} $ 为 $ y $ 轴
B.$ l_{2} $ 为 $ x $ 轴,$ l_{3} $ 为 $ y $ 轴
C.$ l_{1} $ 为 $ x $ 轴,$ l_{4} $ 为 $ y $ 轴
D.$ l_{2} $ 为 $ x $ 轴,$ l_{4} $ 为 $ y $ 轴

D

二次函数$y = ax^2 - 2a^2x + 1$，对称轴为$x = a$，与y轴交于$(0,1)$（正半轴）。
1. 开口方向与对称轴：若抛物线开口向下（图像常见形态），则$a ＜ 0$，对称轴$x = a ＜ 0$（y轴左侧）。
2. 与x轴交点：判别式$\Delta = 4a^4 - 4a ＞ 0$（$a ＜ 0$时），有两个交点，由韦达定理，两根之和$2a ＜ 0$、两根之积$\frac{1}{a} ＜ 0$，故交点一正一负（分布在y轴两侧）。
3. 坐标轴判断：
y轴需为右侧竖直线（$l_4$），因对称轴在y轴左侧（$x = a ＜ 0$）。
x轴需为下方水平线（$l_2$），因抛物线与x轴交点在顶点下方，且$(0,1)$在x轴上方。
综上，$l_2$为x轴，$l_4$为y轴。

7. 对于抛物线 $ y = -2(x + 1)^{2} + 3 $,下列结论：①抛物线开口向下；②对称轴为直线 $ x = 1 $；③顶点坐标是 $ (-1, 3) $；④当 $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小. 其中正确的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4

C

抛物线的方程为 $ y = -2(x + 1)^{2} + 3 $，属于顶点式 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的形式，其中 $ a = -2 $，$ h = -1 $，$ k = 3 $。
1. 由于 $ a = -2 ＜ 0 $，抛物线开口向下，结论①正确。
2. 对称轴为直线 $ x = h $，即 $ x = -1 $，而题目中结论②为对称轴为直线 $ x = 1 $，错误。
3. 顶点坐标为 $ (h, k) $，即 $ (-1, 3) $，结论③正确。
4. 抛物线开口向下，当 $ x ＞ -1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。题目中结论④的条件为 $ x ＞ 1 $，由于 $ 1 ＞ -1 $，结论④正确。
正确的结论为①、③、④，共3个。