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11. 如图所示,$\triangle ABC内接于\odot O$,$\angle CAB= 30^\circ$. 若$\odot O$的半径为2,则$BC$的长为______.
2
答案
解：连接CO，BO。
∵∠CAB=30°，
∴∠COB=2∠CAB=60°。
∵CO=BO=2，
∴△COB是等边三角形。
∴BC=CO=2。
答案：2
∵∠CAB=30°，
∴∠COB=2∠CAB=60°。
∵CO=BO=2，
∴△COB是等边三角形。
∴BC=CO=2。
答案：2
12. 如图所示,在$\triangle ABC$中$,AB= 2,BC= 3.6,\angle B= 60^\circ,$将$\triangle ABC$绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到$\triangle ADE,$当点B的对应点D恰好落在边BC上时,CD的长为
1.6
.答案
解：由旋转性质得，$AD=AB=2$，$\angle ADE=\angle B=60^\circ$。
在$\triangle ABD$中，$AD=AB=2$，$\angle B=60^\circ$，
$\therefore \triangle ABD$是等边三角形，
$\therefore BD=AB=2$。
$\because BC=3.6$，
$\therefore CD=BC-BD=3.6-2=1.6$。
答案：$1.6$
在$\triangle ABD$中，$AD=AB=2$，$\angle B=60^\circ$，
$\therefore \triangle ABD$是等边三角形，
$\therefore BD=AB=2$。
$\because BC=3.6$，
$\therefore CD=BC-BD=3.6-2=1.6$。
答案：$1.6$
13. $P是不在\odot O$上的一点,若点$P到\odot O$上的点的最小距离是4 cm,最大距离是9 cm,则$\odot O$的半径是______
2.5cm或6.5cm
.答案
解：当点P在圆外时，半径为$\frac{9 - 4}{2} = 2.5$cm；
当点P在圆内时，半径为$\frac{9 + 4}{2} = 6.5$cm。
$\odot O$的半径是2.5cm或6.5cm。
当点P在圆内时，半径为$\frac{9 + 4}{2} = 6.5$cm。
$\odot O$的半径是2.5cm或6.5cm。
14. 已知$\odot O$的半径$OA= r$,弦$AB$,$AC$的长分别是$\sqrt{2}r$,$\sqrt{3}r$,则$\angle BAC$的度数为______
15°或75°
.答案
解：分两种情况：
情况一：弦AB、AC在圆心O同侧
连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E。
∵OA=OB=OC=r，
∴AD=AB/2=√2r/2，AE=AC/2=√3r/2。
在Rt△AOD中，cos∠OAD=AD/OA=(√2r/2)/r=√2/2，
∴∠OAD=45°。
在Rt△AOE中，cos∠OAE=AE/OA=(√3r/2)/r=√3/2，
∴∠OAE=30°。
∴∠BAC=∠OAD-∠OAE=45°-30°=15°。
情况二：弦AB、AC在圆心O两侧
同理可得∠OAD=45°，∠OAE=30°，
∴∠BAC=∠OAD+∠OAE=45°+30°=75°。
综上，∠BAC的度数为15°或75°。
答案：15°或75°
情况一：弦AB、AC在圆心O同侧
连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E。
∵OA=OB=OC=r，
∴AD=AB/2=√2r/2，AE=AC/2=√3r/2。
在Rt△AOD中，cos∠OAD=AD/OA=(√2r/2)/r=√2/2，
∴∠OAD=45°。
在Rt△AOE中，cos∠OAE=AE/OA=(√3r/2)/r=√3/2，
∴∠OAE=30°。
∴∠BAC=∠OAD-∠OAE=45°-30°=15°。
情况二：弦AB、AC在圆心O两侧
同理可得∠OAD=45°，∠OAE=30°，
∴∠BAC=∠OAD+∠OAE=45°+30°=75°。
综上，∠BAC的度数为15°或75°。
答案：15°或75°
15. 在$\triangle ABC$中,$\angle ABC= 90^\circ$,$AB= 2$,$BC= 3$. $D$为平面上一个动点,$\angle ADB= 45^\circ$,则线段$CD$的长度的最小值为______
√5-√2
.答案
解：以AB为斜边向上作等腰直角三角形ABO，
则OA=OB，∠AOB=90°，
∵AB=2，
∴OA=OB=√2，
∵∠ADB=45°，
∴点D在以O为圆心，OA为半径的圆上（A、B两点除外），
连接OC，交⊙O于点D，此时CD最小，
∵∠ABC=90°，AB=2，BC=3，
∴AC=√(AB²+BC²)=√13，
过O作OE⊥AB于E，
则E为AB中点，OE=1，AE=1，
延长EO交BC延长线于F，
则EF=BC=3，BF=BE+EF=1+3=4，
CF=BF-BC=4-3=1，
OF=EF-OE=3-1=2，
在Rt△OFC中，OC=√(OF²+CF²)=√5，
CD最小值=OC-OA=√5-√2。
答案：√5-√2
则OA=OB，∠AOB=90°，
∵AB=2，
∴OA=OB=√2，
∵∠ADB=45°，
∴点D在以O为圆心，OA为半径的圆上（A、B两点除外），
连接OC，交⊙O于点D，此时CD最小，
∵∠ABC=90°，AB=2，BC=3，
∴AC=√(AB²+BC²)=√13，
过O作OE⊥AB于E，
则E为AB中点，OE=1，AE=1，
延长EO交BC延长线于F，
则EF=BC=3，BF=BE+EF=1+3=4，
CF=BF-BC=4-3=1，
OF=EF-OE=3-1=2，
在Rt△OFC中，OC=√(OF²+CF²)=√5，
CD最小值=OC-OA=√5-√2。
答案：√5-√2
16. 如图所示,正方形$ABCD内接于圆O$,线段$MN在对角线BD$上运动,若圆$O的面积为2\pi$,$MN= 1$,$\triangle AMN$周长的最小值是______.
2√2+1
答案
解：
∵圆O的面积为2π，∴半径OA=√(2π/π)=√2，直径AC=BD=2√2。
∵正方形ABCD内接于圆O，∴AB=BC=CD=DA=2（由勾股定理，AB²+AD²=BD²，2AB²=(2√2)²，AB=2）。
作点A关于BD的对称点A'，则A'与C重合（正方形对角线对称）。
在BD上取点N，M，使MN=1，连接A'N（即CN），AM。
△AMN周长=AM+MN+AN=AM+AN+1。
∵A与C关于BD对称，∴AN=CN，∴AM+AN=AM+CM。
当A，M，C三点共线时，AM+CM最小，最小值为AC=2√2。
∴△AMN周长最小值=2√2+1。
答案：2√2+1
∵圆O的面积为2π，∴半径OA=√(2π/π)=√2，直径AC=BD=2√2。
∵正方形ABCD内接于圆O，∴AB=BC=CD=DA=2（由勾股定理，AB²+AD²=BD²，2AB²=(2√2)²，AB=2）。
作点A关于BD的对称点A'，则A'与C重合（正方形对角线对称）。
在BD上取点N，M，使MN=1，连接A'N（即CN），AM。
△AMN周长=AM+MN+AN=AM+AN+1。
∵A与C关于BD对称，∴AN=CN，∴AM+AN=AM+CM。
当A，M，C三点共线时，AM+CM最小，最小值为AC=2√2。
∴△AMN周长最小值=2√2+1。
答案：2√2+1
