在四边形$ABCD$中,$\angle BCD= 90^{\circ}$,$BD平分\angle ABC$,$AB= 6$,$BC= 9$,$CD= 4$,则四边形$ABCD$的面积为.

30

过点D作DE⊥AB于E。
∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=4（角平分线上的点到角两边距离相等）。
S△BCD=1/2×BC×CD=1/2×9×4=18；
S△ABD=1/2×AB×DE=1/2×6×4=12；
∴四边形ABCD面积=S△ABD+S△BCD=12+18=30。

1. 三角形内到三边距离相等的点是()
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条高的交点
C.三条中线的交点
D.三条角平分线的交点

D

根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等。而三角形三条角平分线的交点到三角形三边距离相等。
选项A，三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，并非到三边距离相等，所以A选项错误。
选项B，三条高的交点是垂心，它不具有到三边距离相等的性质，所以B选项错误。
选项C，三条中线的交点是重心，它也不具有到三边距离相等的性质，所以C选项错误。
选项D，三条角平分线的交点到三边距离相等，所以D选项正确。

2. 如图,直线$AB$,$CD相交于点O$,$ME\perp AB于点E$,$MF\perp CD于点F$,且$ME= MF$. 若$\angle BOD= 50^{\circ}$,则$\angle AOM$的度数为()

A.$50^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$130^{\circ}$
D.$65^{\circ}$

D

因为$ME\perp AB$于点$E$，$MF\perp CD$于点$F$，且$ME = MF$，根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上），可知$OM$平分$\angle AOD$。
已知$\angle BOD = 50^{\circ}$，根据对顶角相等，可得$\angle AOC=\angle BOD = 50^{\circ}$，$\angle AOD = 180^{\circ}-\angle BOD=130^{\circ}$。
因为$OM$平分$\angle AOD$，所以$\angle AOM=\frac{1}{2}\angle AOD = 65^{\circ}$。

3. 如图,$\triangle ABC的\angle ABC的外角的平分线BD与\angle ACB的外角的平分线CE相交于点P$. 若点$P到AC的距离为6$,则点$P到AB$的距离为.

6

过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H。
∵CE平分∠ACB的外角，PF⊥AC，PG⊥BC，
∴PF=PG=6（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵BD平分∠ABC的外角，PG⊥BC，PH⊥AB，
∴PG=PH（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∴PH=PF=6，即点P到AB的距离为6。

4. 如图,在$\triangle ABC$中,点$O是\angle ABC$,$\angle ACB$的平分线的交点,$AB+BC+AC= 12$,过$O作OD\perp BC于点D$,若$OD= 2$,则$\triangle ABC$的面积是.

答题卡：
作$OE \perp AB$于点$E$，$OF \perp AC$于点$F$，
因为$O$是$\angle ABC$，$\angle ACB$的平分线的交点，
根据角平分线的性质，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，
所以$OE = OD = 2$，$OF = OD = 2$，
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABO}+S_{\triangle BCO}+S_{\triangle ACO}$
$=\frac{1}{2}AB× OE+\frac{1}{2}BC× OD+\frac{1}{2}AC× OF$
$=\frac{1}{2}(AB + BC+AC)×2$
因为$AB + BC + AC = 12$，
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×12×2=12$。
故答案为：$12$。

5. 已知$OP平分\angle AOB$,$\angle DCE的顶点C在射线OP$上,射线$CD交射线OA于点F$,射线$CE交射线OB于点G$.
(1)如图1,若$CD\perp OA$,$CE\perp OB$,请直接写出线段$CF与CG$的数量关系；
(2)如图2,若$\angle AOB= 120^{\circ}$,$\angle DCE= \angle AOC$,试判断线段$CF与CG$的数量关系,并说明理由.

(1)CF=CG
(2)CF=CG
理由：过点C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N
∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB
∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵∠AOB=120°，OP平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC=60°
∵CM⊥OA，CN⊥OB
∴∠OMC=∠ONC=90°
在四边形OMCN中，∠MCN=360°-∠OMC-∠ONC-∠AOB=360°-90°-90°-120°=60°
∵∠DCE=∠AOC=60°
∴∠FCG=60°
∴∠MCN=∠FCG
∴∠MCN-∠FCN=∠FCG-∠FCN，即∠MCF=∠NCG
在△CMF和△CNG中
$\left\{\begin{array}{l} ∠CMF=∠CNG=90°\\ CM=CN\\ ∠MCF=∠NCG\end{array}\right.$
∴△CMF≌△CNG（ASA）
∴CF=CG

例1 如图,已知 $ AE // BF $,且 $ AC = BD $。
请你添加一个条件,使 $ \triangle ADE \cong \triangle BCF $,并加以证明。

名师导引 在证明两个三角形全等时,可灵活运用 $ SAS $、$ ASA $、$ AAS $、$ SSS $ 等判定方式,综合条件及结论,挖掘证明的方式。
巩固提升 如图,$ \triangle ABC $ 的高 $ AD $ 所在直线与高 $ BE $ 所在直线相交于点 $ F $,过点 $ F $ 作 $ FG // BC $,交直线 $ AB $ 于点 $ G $,又 $ \angle ABC = 45^{\circ} $。求证：
(1) $ \triangle BDF \cong \triangle ADC $；
(2) $ FG + DC = AD $。

例1：
添加条件：$AE = BF$（答案不唯一）。
证明：
$\because AC = BD$，
$\therefore AC + CD = BD + CD$，
即$AD = BC$，
$\because AE// BF$，
$\therefore \angle A = \angle B$（两直线平行，内错角相等），
在$\triangle ADE$和$\triangle BCF$中，
$\begin{cases}AE = BF\\\angle A = \angle B\\AD = BC\end{cases}$
$\therefore \triangle ADE\cong\triangle BCF(SAS)$。
巩固提升：
(1)
$\because AD\perp BC$，$BE\perp AC$，
$\therefore \angle ADB = \angle ADC = \angle BEA = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle DAF+\angle AFD = 90^{\circ}$，$\angle DBC+\angle C = 90^{\circ}$，
$\because \angle AFD = \angle BFC$（对顶角相等），
$\therefore \angle DAF=\angle DBC$，
在$\triangle BDF$和$\triangle ADC$中，
$\begin{cases}\angle DAF=\angle DBC\\\angle ADB = \angle ADC\\BD = AD\end{cases}$
$\therefore \triangle BDF\cong\triangle ADC(AAS)$。
(2)
由$\triangle BDF\cong\triangle ADC$，
得$DF = DC$，
$\because \angle ABC = 45^{\circ}$，$AD\perp BC$，
$\therefore \triangle ABD$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle BAD = 45^{\circ}$，
$\therefore AD = BD$，
$\because FG// BC$，
$\therefore \angle AGF=\angle ABC = 45^{\circ}$，
$\angle GFA=\angle FBC$，
$\because \angle BAD = \angle AGF = 45^{\circ}$，
$\therefore AG = FG$，
$\because \angle GFA=\angle FBC$，$\angle AFD=\angle BFC$，
$\therefore \angle GFA+\angle AFD=\angle FBC+\angle BFC = 90^{\circ}$，
即$\angle GFD = 90^{\circ}$，
$\because AD = BD$，$DF = DC$，
$\therefore FG+DC = AG+DF = AD$。