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7. 如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的一条弦,AB⊥CD,连接 AC,OD.
(1)求证：∠BOD= 2∠A；
(2)若∠A= 30°,AB= 4,求 CD 的长.
(1)求证：∠BOD= 2∠A；
(2)若∠A= 30°,AB= 4,求 CD 的长.
答案
(1)见证明过程；(2)CD=2√3.
解析
(1)证明：连接OC。
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴AB平分CD，即弧CB=弧DB。
∴∠COB=∠BOD。
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA。
∵∠COB=∠A+∠OCA=2∠A，
∴∠BOD=2∠A。
(2)
∵AB=4，
∴⊙O的半径OC=OB=2。
∵∠A=30°，∠BOD=2∠A，
∴∠BOD=60°。
∵AB⊥CD，设垂足为E，
∴∠OED=90°，CD=2DE。
在Rt△OED中，DE=OD·sin∠BOD=2×sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$。
∴CD=2DE=2$\sqrt{3}$。
8. 如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,OD⊥AB 于点 E,若⊙O 的半径为$\sqrt{2}$,∠ACB= 45°,则 OE 的长为
1
.答案
1
解析
连接OA、OB。
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=90°。
∵OA=OB=$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{OA^2 + OB^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}=2$。
∵OD⊥AB，
∴AE=EB=$\frac{1}{2}$AB=1，∠OEA=90°。
在Rt△OEA中，OE=$\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1^2}=1$。
1
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=90°。
∵OA=OB=$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{OA^2 + OB^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2}=2$。
∵OD⊥AB，
∴AE=EB=$\frac{1}{2}$AB=1，∠OEA=90°。
在Rt△OEA中，OE=$\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2 - 1^2}=1$。
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9. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 平分∠BAC,交 BC 于点 F,交⊙O 于点 D,BE 平分∠ABC,交 AD 于点 E,连接 BD.
(1)求证：∠BED= ∠EBD；
(2)若 A 是$\widehat{DAC}$的中点,求证：DE= CF.
(1)求证：∠BED= ∠EBD；
(2)若 A 是$\widehat{DAC}$的中点,求证：DE= CF.
答案
(1)证明：
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴设∠BAD=∠CAD=α，∠ABE=∠CBE=β．
∵∠BED是△ABE外角，∴∠BED=∠BAE+∠ABE=α+β．
∵∠CBD=∠CAD=α（同弧CD所对圆周角），
∴∠EBD=∠CBE+∠CBD=β+α．
∴∠BED=∠EBD．
(2)证明：
∵A是$\widehat{DAC}$中点，∴$\widehat{AD}=\widehat{AC}$，
∴∠ABD=∠ABC（等弧对等圆周角）．
∵BE平分∠ABC，设∠ABE=∠CBE=β，则∠ABC=2β，
∴∠ABD=2β，∴∠DBE=∠ABD-∠ABE=2β-β=β=∠CBE．
由(1)知∠BED=∠EBD，∴BD=ED（等角对等边）．
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$（等圆周角对等弧），
∴BD=CD（等弧对等弦），∠BDF=∠CDF（等弧所对圆周角相等）．
∵∠ACF=∠ABF=β（同弧AF所对圆周角），∠ACD=∠ABD=2β（$\widehat{AD}$所对圆周角），
∴∠FCD=∠ACD-∠ACF=2β-β=β=∠DBF．
在△BDF和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DBF=∠DCF=β\\ BD=CD\\ ∠BDF=∠CDF\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDF（ASA），∴BD=CF．
∵BD=ED，∴DE=CF．
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴设∠BAD=∠CAD=α，∠ABE=∠CBE=β．
∵∠BED是△ABE外角，∴∠BED=∠BAE+∠ABE=α+β．
∵∠CBD=∠CAD=α（同弧CD所对圆周角），
∴∠EBD=∠CBE+∠CBD=β+α．
∴∠BED=∠EBD．
(2)证明：
∵A是$\widehat{DAC}$中点，∴$\widehat{AD}=\widehat{AC}$，
∴∠ABD=∠ABC（等弧对等圆周角）．
∵BE平分∠ABC，设∠ABE=∠CBE=β，则∠ABC=2β，
∴∠ABD=2β，∴∠DBE=∠ABD-∠ABE=2β-β=β=∠CBE．
由(1)知∠BED=∠EBD，∴BD=ED（等角对等边）．
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$（等圆周角对等弧），
∴BD=CD（等弧对等弦），∠BDF=∠CDF（等弧所对圆周角相等）．
∵∠ACF=∠ABF=β（同弧AF所对圆周角），∠ACD=∠ABD=2β（$\widehat{AD}$所对圆周角），
∴∠FCD=∠ACD-∠ACF=2β-β=β=∠DBF．
在△BDF和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DBF=∠DCF=β\\ BD=CD\\ ∠BDF=∠CDF\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDF（ASA），∴BD=CF．
∵BD=ED，∴DE=CF．
10. 如图,⊙O 是等边三角形 ABC 的外接圆,P 是$\widehat{AB}$上一点.
(1)填空：∠APC=
(2)若⊙O 的半径为 4,求等边三角形 ABC 的面积；
(3)求证：PA+PB= PC.
(1)填空：∠APC=
60°
,∠BPC=60°
；(2)若⊙O 的半径为 4,求等边三角形 ABC 的面积；
连接OA、OB，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴∠ACB=60°，∠AOB=2∠ACB=120°，OA=OB=4。在△AOB中，由余弦定理得：AB²=OA²+OB²-2·OA·OB·cos∠AOB=4²+4²-2×4×4×cos120°=16+16-32×(-1/2)=48，∴AB=4√3。等边△ABC面积S=(√3/4)AB²=(√3/4)×(4√3)²=12√3。
(3)求证：PA+PB= PC.
在PC上截取PD=PA，连接AD。∵∠APC=60°，PD=PA，∴△PAD为等边三角形，∴PA=AD，∠PAD=60°。∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠PAB=∠DAC。在△PAB和△DAC中，{PA=AD，∠PAB=∠DAC，AB=AC}，∴△PAB≌△DAC(SAS)，∴PB=DC。∵PC=PD+DC，PD=PA，DC=PB，∴PA+PB=PC。
答案
(1) 60°；60°
(2) 连接OA、OB，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴∠ACB=60°，∠AOB=2∠ACB=120°，OA=OB=4。在△AOB中，由余弦定理得：AB²=OA²+OB²-2·OA·OB·cos∠AOB=4²+4²-2×4×4×cos120°=16+16-32×(-1/2)=48，∴AB=4√3。等边△ABC面积S=(√3/4)AB²=(√3/4)×(4√3)²=12√3。
(3) 在PC上截取PD=PA，连接AD。∵∠APC=60°，PD=PA，∴△PAD为等边三角形，∴PA=AD，∠PAD=60°。∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠PAB=∠DAC。在△PAB和△DAC中，{PA=AD，∠PAB=∠DAC，AB=AC}，∴△PAB≌△DAC(SAS)，∴PB=DC。∵PC=PD+DC，PD=PA，DC=PB，∴PA+PB=PC。
(2) 连接OA、OB，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴∠ACB=60°，∠AOB=2∠ACB=120°，OA=OB=4。在△AOB中，由余弦定理得：AB²=OA²+OB²-2·OA·OB·cos∠AOB=4²+4²-2×4×4×cos120°=16+16-32×(-1/2)=48，∴AB=4√3。等边△ABC面积S=(√3/4)AB²=(√3/4)×(4√3)²=12√3。
(3) 在PC上截取PD=PA，连接AD。∵∠APC=60°，PD=PA，∴△PAD为等边三角形，∴PA=AD，∠PAD=60°。∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠PAB=∠DAC。在△PAB和△DAC中，{PA=AD，∠PAB=∠DAC，AB=AC}，∴△PAB≌△DAC(SAS)，∴PB=DC。∵PC=PD+DC，PD=PA，DC=PB，∴PA+PB=PC。
