27. 如图,BE是⊙O的直径,点A在⊙O上,点C在BE的延长线上,∠EAC= ∠ABC,AD平分∠BAE交⊙O于点D,连接DE.
(1)求证：CA是⊙O的切线；
(2)当AC= 4,CE= 2时,求DE的长.

(1)见解析；(2)3√2。

(1)证明：连接OA，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC，
∵∠EAC=∠ABC，
∴∠OAB=∠EAC，
∵∠OAB+∠OAE=∠BAE=90°，
∴∠EAC+∠OAE=90°，即∠OAC=90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴CA是⊙O的切线；
(2)设⊙O的半径为$r$，则OA=OE=OB=r，OC=OE+CE=r+2，
∵∠OAC=90°，
∴OA²+AC²=OC²，即$r²+4²=(r+2)²$，
解得$r=3$，
∴BE=2r=6，OC=3+2=5，
∵AD平分∠BAE，∠BAE=90°，
∴∠BAD=∠EAD=45°，
∴∠BED=∠BAD=45°，∠EBD=∠EAD=45°，
∴∠BDE=90°，△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=BD，DE²+BD²=BE²，即$2DE²=6²$，
解得$DE=3\sqrt{2}$。

28. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC是⊙O的直径,过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,连接BD交AC于点P.
(1)求∠EDC的大小；
(2)若∠DPC= 45°,$PD^2+PB^2= 8$,求AC的长.

(1) 90°；(2) 4。

(1)
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EDC=∠ABC。
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠EDC=90°。
(2)过点D作DF⊥AC于F，过点B作BG⊥AC于G。
∵∠DPC=45°，
∴DF=PF，BG=PG。
设DF=PF=a，BG=PG=b，CF=m，AG=n。
易证△CDF∽△CAE，△ABG∽△ACE，
∴$\frac{DF}{AE}=\frac{CF}{CE}$，$\frac{BG}{AE}=\frac{AG}{CE}$，
∴$\frac{a}{n}=\frac{m}{b}$，即ab=mn。
PD²=2a²，PB²=2b²，
∵PD²+PB²=8，
∴2a²+2b²=8，a²+b²=4。
AC=AG+GF+FC=n+(b+a)+m=m+n+a+b。
又
∵(m+n+a+b)²=(m+n)²+(a+b)²+2(m+n)(a+b)=m²+n²+2mn+a²+b²+2ab+2(m+n)(a+b)=m²+n²+a²+b²+4ab+2(m+n)(a+b)。
由ab=mn，得AC²=(m+n+a+b)²=(m+a+n+b)²=(CD+AB)²，
又
∵CD²=CF²+DF²=m²+a²，AB²=AG²+BG²=n²+b²，
CD²+AB²=m²+a²+n²+b²=(m²+n²)+(a²+b²)=2mn+4=2ab+4=4+4=8，
AC²=CD²+AB²+2CD·AB=8+2CD·AB，
又
∵CD·AB=(m²+a²)(n²+b²)=m²n²+m²b²+n²a²+a²b²=a⁴+b⁴+2a²b²=(a²+b²)²=16，
CD·AB=4，
∴AC²=8+2×4=16，
AC=4。