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25. 某中学兴趣小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边是由周长为30 m的篱笆围成.如图,已知墙长为20 m,设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m.
(1)若苗圃园的面积为$108\ m^{2}$,求x的值；
(2)苗圃园的面积能达到$120\ m^{2}$吗？若能,求出x的值；若不能,说明理由.
(1)若苗圃园的面积为$108\ m^{2}$,求x的值；
(2)苗圃园的面积能达到$120\ m^{2}$吗？若能,求出x的值；若不能,说明理由.
答案
(1) 设垂直于墙的一边长为$x$ m，则平行于墙的一边长为$(30 - 2x)$ m。根据题意，得：
$x(30 - 2x) = 108$
整理得：$2x^2 - 30x + 108 = 0$，即$x^2 - 15x + 54 = 0$
解得：$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2} = \frac{15 \pm 3}{2}$
$x_1 = 9$，$x_2 = 6$
检验：当$x = 6$时，$30 - 2x = 18 \leq 20$；当$x = 9$时，$30 - 2x = 12 \leq 20$，均符合题意。
故$x$的值为$6$或$9$。
(2) 若面积为$120\ m^2$，则方程为：
$x(30 - 2x) = 120$
整理得：$x^2 - 15x + 60 = 0$
判别式$\Delta = (-15)^2 - 4 × 1 × 60 = 225 - 240 = -15 ＜ 0$
方程无实数根，故苗圃园的面积不能达到$120\ m^2$。
$x(30 - 2x) = 108$
整理得：$2x^2 - 30x + 108 = 0$，即$x^2 - 15x + 54 = 0$
解得：$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 216}}{2} = \frac{15 \pm 3}{2}$
$x_1 = 9$，$x_2 = 6$
检验：当$x = 6$时，$30 - 2x = 18 \leq 20$；当$x = 9$时，$30 - 2x = 12 \leq 20$，均符合题意。
故$x$的值为$6$或$9$。
(2) 若面积为$120\ m^2$，则方程为：
$x(30 - 2x) = 120$
整理得：$x^2 - 15x + 60 = 0$
判别式$\Delta = (-15)^2 - 4 × 1 × 60 = 225 - 240 = -15 ＜ 0$
方程无实数根，故苗圃园的面积不能达到$120\ m^2$。
26. 如图,AB是$\odot O$直径,点C在$\odot O$上,在AB的延长线上取一点D,连接CD,使$\angle BCD= \angle A$.
(1)求证：CD是$\odot O$的切线；
(2)若$\angle ACD= 120^{\circ}$,$AB= 6$,求图中阴影部分的面积.
(1)求证：CD是$\odot O$的切线；
(2)若$\angle ACD= 120^{\circ}$,$AB= 6$,求图中阴影部分的面积.
答案
(1)见解析；(2)$\frac{3\pi}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{4}$.
解析
(1)连接OC.
∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°.
∵OA=OC，∴∠A=∠OCA.
∵∠BCD=∠A，∴∠BCD=∠OCA.
∵∠OCA+∠OCB=90°，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°.
∵OC是⊙O半径，∴CD是⊙O的切线.
(2)∵∠ACD=120°，∠OCD=90°，∴∠ACO=∠ACD-∠OCD=30°.
∵∠A=∠OCA=30°，∠ACB=90°，∴∠ABC=60°.
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=60°，∴∠BOC=60°.
∵AB=6，∴OC=OB=3.
扇形OBC面积：$\frac{60\pi×3^2}{360}=\frac{3\pi}{2}$.
△OBC面积：$\frac{\sqrt{3}}{4}×3^2=\frac{9\sqrt{3}}{4}$.
阴影部分面积：$\frac{3\pi}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{4}$.
∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°.
∵OA=OC，∴∠A=∠OCA.
∵∠BCD=∠A，∴∠BCD=∠OCA.
∵∠OCA+∠OCB=90°，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°.
∵OC是⊙O半径，∴CD是⊙O的切线.
(2)∵∠ACD=120°，∠OCD=90°，∴∠ACO=∠ACD-∠OCD=30°.
∵∠A=∠OCA=30°，∠ACB=90°，∴∠ABC=60°.
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=60°，∴∠BOC=60°.
∵AB=6，∴OC=OB=3.
扇形OBC面积：$\frac{60\pi×3^2}{360}=\frac{3\pi}{2}$.
△OBC面积：$\frac{\sqrt{3}}{4}×3^2=\frac{9\sqrt{3}}{4}$.
阴影部分面积：$\frac{3\pi}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{4}$.
27. 奔赴苍穹,逐梦九天,2024年10月30日“神舟十九号”成功发射,开创了中国航天的新里程.某航模商店为了弘扬中国航天精神,特推出神舟系列航空模型,已知该模型平均每天可售出100个,平均每个可盈利20元,为了扩大销售增加盈利,并且尽可能让顾客得到实惠,该店决定准备适当降价,经过测算发现每个模型的售价每降低1元,平均每天可多售出10个.
(1)若设每个模型降价x元,平均每天可售出
(2)要使该模型平均每天销售利润达2160元,每个模型应降价多少元？
设每个模型降价$x$元。
原来的盈利为每个20元，降价后每个的盈利为$20 - x$元。
原来的销售量为每天100个，降价后每天的销售量为$100 + 10x$个。
因此，降价后的每天总盈利为：
$(20 - x)(100 + 10x)$
根据题意，这个总盈利应该等于2160元，即：
$(20 - x)(100 + 10x) = 2160$
展开并整理得：
$2000 + 200x - 100x - 10x^2 = 2160$
$-10x^2 + 100x - 160 = 0$
$x^2 - 10x + 16 = 0$
$(x - 2)(x - 8) = 0$
解得 $x_1 = 2, x_2 = 8$
由于题目要求“尽可能让顾客得到实惠”，因此选择降价更多的$x = 8$。
答：每个模型应降价8元。
(1)若设每个模型降价x元,平均每天可售出
100 + 10x
个；(2)要使该模型平均每天销售利润达2160元,每个模型应降价多少元？
设每个模型降价$x$元。
原来的盈利为每个20元，降价后每个的盈利为$20 - x$元。
原来的销售量为每天100个，降价后每天的销售量为$100 + 10x$个。
因此，降价后的每天总盈利为：
$(20 - x)(100 + 10x)$
根据题意，这个总盈利应该等于2160元，即：
$(20 - x)(100 + 10x) = 2160$
展开并整理得：
$2000 + 200x - 100x - 10x^2 = 2160$
$-10x^2 + 100x - 160 = 0$
$x^2 - 10x + 16 = 0$
$(x - 2)(x - 8) = 0$
解得 $x_1 = 2, x_2 = 8$
由于题目要求“尽可能让顾客得到实惠”，因此选择降价更多的$x = 8$。
答：每个模型应降价8元。
答案
(1) $100 + 10x$
(2) 设每个模型降价$x$元。
原来的盈利为每个20元，降价后每个的盈利为$20 - x$元。
原来的销售量为每天100个，降价后每天的销售量为$100 + 10x$个。
因此，降价后的每天总盈利为：
$(20 - x)(100 + 10x)$
根据题意，这个总盈利应该等于2160元，即：
$(20 - x)(100 + 10x) = 2160$
展开并整理得：
$2000 + 200x - 100x - 10x^2 = 2160$
$-10x^2 + 100x - 160 = 0$
$x^2 - 10x + 16 = 0$
$(x - 2)(x - 8) = 0$
解得 $x_1 = 2, x_2 = 8$
由于题目要求“尽可能让顾客得到实惠”，因此选择降价更多的$x = 8$。
答：每个模型应降价8元。
(2) 设每个模型降价$x$元。
原来的盈利为每个20元，降价后每个的盈利为$20 - x$元。
原来的销售量为每天100个，降价后每天的销售量为$100 + 10x$个。
因此，降价后的每天总盈利为：
$(20 - x)(100 + 10x)$
根据题意，这个总盈利应该等于2160元，即：
$(20 - x)(100 + 10x) = 2160$
展开并整理得：
$2000 + 200x - 100x - 10x^2 = 2160$
$-10x^2 + 100x - 160 = 0$
$x^2 - 10x + 16 = 0$
$(x - 2)(x - 8) = 0$
解得 $x_1 = 2, x_2 = 8$
由于题目要求“尽可能让顾客得到实惠”，因此选择降价更多的$x = 8$。
答：每个模型应降价8元。
