13. 如图,数轴上半径为1的$\odot O$从原点 O 开始以每秒1个单位的速度向右运动,同时,在原点右边7个单位处有一点 P 以每秒2个单位的速度向左运动,经过秒后,点 P 在$\odot O$上.

$2$或$\frac{8}{3}$

设经过$t$秒后，点$P$在$\odot O$上。
$\odot O$从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，$t$秒后圆心$O$的位置为$t$。
点$P$在原点右边7个单位处，以每秒2个单位的速度向左运动，$t$秒后点$P$的位置为$7 - 2t$。
$\odot O$的半径为1，点$P$在$\odot O$上，则圆心$O$与点$P$的距离为1，可得：
$|t - (7 - 2t)| = 1$
即$|3t - 7| = 1$
当$3t - 7 = 1$时，$3t = 8$，$t = \frac{8}{3}$
当$3t - 7 = -1$时，$3t = 6$，$t = 2$
综上，$t = 2$或$t = \frac{8}{3}$
$2$或$\frac{8}{3}$

14. 如图,已知 P 是$\odot O$外一点,Q 是$\odot O$上的动点,线段 PQ 的中点为 M,连结 OP,OM.若$\odot O$的半径为2,$OP= 4$,则线段 OM 的最小值是()

A.0
B.1
C.2
D.3

B

取OP中点N，连接MN，ON。
∵M是PQ中点，N是OP中点，
∴MN是△POQ的中位线，MN=$\frac{1}{2}$OQ=1。
∵OP=4，
∴ON=$\frac{1}{2}$OP=2。
在△OMN中，OM≥ON-MN=2-1=1，
当O，M，N三点共线且M在O，N之间时，OM=1。
线段OM的最小值是1。
B

15. 已知$\odot O$的半径为2,点 A 到圆心 O 的距离$OA= m$,且 m 使关于 x 的一元二次方程$2x^{2}-2\sqrt {2}x+m-1= 0$有实数根,试确定点 A 与$\odot O$的位置关系.

首先，根据题目条件，关于$x$的一元二次方程$2x^{2} - 2\sqrt{2}x + m - 1 = 0$有实数根。
根据一元二次方程的根的判别式，有：
$\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0$
其中，$a = 2, b = -2\sqrt{2}, c = m - 1$。
代入这些值，得到：
$\Delta = (-2\sqrt{2})^{2} - 4 × 2 × (m - 1) \geq 0$
$8 - 8m + 8 \geq 0$
$-8m \geq -16$
$m \leq 2$
由于$m$是点A到圆心O的距离$OA$，且已知$\odot O$的半径为2，因此：
当$m = 2$时，点A在$\odot O$上；
当$0 \leq m ＜ 2$时，点A在$\odot O$内；
当$m$不存在小于0的情况（因为距离不能为负），且由于$m \leq 2$，所以不需要考虑$m ＞ 2$的情况。
综上，点A与$\odot O$的位置关系是：点A在$\odot O$内或点A在$\odot O$上。