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完全平方公式: $(a + b)^2 = $
思考 ①完全平方公式的右端有何结构特点及符号特点? ②完全平方公式可以怎么变形?
填空 $(2x + 3)^2 = ($
$a^{2}+2ab + b^{2}$
; $(a - b)^2 = $$a^{2}-2ab + b^{2}$
.思考 ①完全平方公式的右端有何结构特点及符号特点? ②完全平方公式可以怎么变形?
填空 $(2x + 3)^2 = ($
$2x$
$)^2 +$$12x$
$ + ($$3$
$)^2$; $a^2 + b^2 = ($$a + b$
$)^2 - 2ab = (a - b)^2 +$$2ab$
.答案
完全平方公式: $a^{2}+2ab + b^{2}$；$a^{2}-2ab + b^{2}$；
填空：$2x$，$12x$，$3$；$a + b$，$2ab$。
填空：$2x$，$12x$，$3$；$a + b$，$2ab$。
解析
完全平方公式:
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
思考①：
结构特点：结果为二次三项式，首尾两项是平方项，中间项是两数乘积的两倍。
符号特点：两个平方项符号一定为正，中间项符号与括号内两项的符号一致，同时中间项系数为2。
思考②：
变形1：$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$；
变形2：$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$；
变形3：$ab=\frac{(a + b)^2-(a^2 + b^2)}{2}$等。
填空：
根据完全平方公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，对于$(2x + 3)^2$，$m = 2x$，$n = 3$，则$(2x + 3)^2=(2x)^2+2×2x×3 + 3^2$。
所以$(2x + 3)^2=(2x)^2+12x+(3)^2$。
由$a^2 + b^2=(a + b)^2-2ab$，同时$a^2 + b^2=(a - b)^2 + 2ab$，所以$a^2 + b^2=(a + b)^2-2ab=(a - b)^2+2ab$。
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
思考①：
结构特点：结果为二次三项式，首尾两项是平方项，中间项是两数乘积的两倍。
符号特点：两个平方项符号一定为正，中间项符号与括号内两项的符号一致，同时中间项系数为2。
思考②：
变形1：$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$；
变形2：$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$；
变形3：$ab=\frac{(a + b)^2-(a^2 + b^2)}{2}$等。
填空：
根据完全平方公式$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$，对于$(2x + 3)^2$，$m = 2x$，$n = 3$，则$(2x + 3)^2=(2x)^2+2×2x×3 + 3^2$。
所以$(2x + 3)^2=(2x)^2+12x+(3)^2$。
由$a^2 + b^2=(a + b)^2-2ab$，同时$a^2 + b^2=(a - b)^2 + 2ab$，所以$a^2 + b^2=(a + b)^2-2ab=(a - b)^2+2ab$。
探究一 直接应用完全平方公式
例1 运用完全平方公式计算:
(1) $(3a + 2b)^2$; (2) $(3a - 2b)^2$;
(3) $(-3a - 2b)^2$; (4) $102^2$.
例1 运用完全平方公式计算:
(1) $(3a + 2b)^2$; (2) $(3a - 2b)^2$;
(3) $(-3a - 2b)^2$; (4) $102^2$.
答案
(1)
解：原式 = $(3a)^{2} + 2 × 3a × 2b + (2b)^{2}$
= $9a^{2} + 12ab + 4b^{2}$
(2)
解：原式 = $(3a)^{2} - 2 × 3a × 2b + (2b)^{2}$
= $9a^{2} - 12ab + 4b^{2}$
(3)
解：原式 = $(-3a)^{2} - 2× (-3a) × (-2b) + (-2b)^{2}$
（根据$(-a-b)^2=a^2+2ab+b^2$，此处形式为$(-3a - 2b)^2$，可以看成$[(-3a)+(-2b)]^2$，所以也应该等于$(-3a)^{2} + 2× (-3a) × (-2b) + (-2b)^{2}$，结果一致）
= $9a^{2} + 12ab + 4b^{2}$
(4)
解：原式 = $(100 + 2)^{2}$
= $100^{2} + 2 × 100 × 2 + 2^{2}$
= $10000 + 400 + 4$
= $10404$
解：原式 = $(3a)^{2} + 2 × 3a × 2b + (2b)^{2}$
= $9a^{2} + 12ab + 4b^{2}$
(2)
解：原式 = $(3a)^{2} - 2 × 3a × 2b + (2b)^{2}$
= $9a^{2} - 12ab + 4b^{2}$
(3)
解：原式 = $(-3a)^{2} - 2× (-3a) × (-2b) + (-2b)^{2}$
（根据$(-a-b)^2=a^2+2ab+b^2$，此处形式为$(-3a - 2b)^2$，可以看成$[(-3a)+(-2b)]^2$，所以也应该等于$(-3a)^{2} + 2× (-3a) × (-2b) + (-2b)^{2}$，结果一致）
= $9a^{2} + 12ab + 4b^{2}$
(4)
解：原式 = $(100 + 2)^{2}$
= $100^{2} + 2 × 100 × 2 + 2^{2}$
= $10000 + 400 + 4$
= $10404$
变式训练 计算:
(1) $\left(-\frac{3}{2}a + 4b\right)^2$; (2) $99^2$.
(1) $\left(-\frac{3}{2}a + 4b\right)^2$; (2) $99^2$.
答案
(1)
$\begin{aligned}\left(-\frac{3}{2}a + 4b\right)^2 &= \left(-\frac{3}{2}a\right)^2 + 2 × \left(-\frac{3}{2}a\right) × (4b) + (4b)^2 \\&= \frac{9}{4}a^2 - 12ab + 16b^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}99^2 &= (100 - 1)^2 \\&= 100^2 - 2 × 100 × 1 + 1^2 \\&= 10000 - 200 + 1 \\&= 9801\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left(-\frac{3}{2}a + 4b\right)^2 &= \left(-\frac{3}{2}a\right)^2 + 2 × \left(-\frac{3}{2}a\right) × (4b) + (4b)^2 \\&= \frac{9}{4}a^2 - 12ab + 16b^2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}99^2 &= (100 - 1)^2 \\&= 100^2 - 2 × 100 × 1 + 1^2 \\&= 10000 - 200 + 1 \\&= 9801\end{aligned}$
探究二 完全平方公式的灵活应用
例2 已知: $a + b = 3$, $ab = -1$,则 $3a + ab + 3b = $
例2 已知: $a + b = 3$, $ab = -1$,则 $3a + ab + 3b = $
8
, $a^2 + b^2 = $11
.答案
$8$；$11$
解析
对于$3a + ab + 3b$：
将式子$3a + ab + 3b$变形为$3(a + b)+ab$。
把$a + b = 3$，$ab = - 1$代入$3(a + b)+ab$可得：
$3×3+(-1)=9 - 1=8$。
对于$a^2 + b^2$：
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，可得$a^2 + b^2=(a + b)^2-2ab$。
把$a + b = 3$，$ab = - 1$代入$(a + b)^2-2ab$可得：
$3^2-2×(-1)=9 + 2=11$。
将式子$3a + ab + 3b$变形为$3(a + b)+ab$。
把$a + b = 3$，$ab = - 1$代入$3(a + b)+ab$可得：
$3×3+(-1)=9 - 1=8$。
对于$a^2 + b^2$：
根据完全平方公式$(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，可得$a^2 + b^2=(a + b)^2-2ab$。
把$a + b = 3$，$ab = - 1$代入$(a + b)^2-2ab$可得：
$3^2-2×(-1)=9 + 2=11$。
变式训练 如果 $(a + b)^2 = 19$, $a^2 + b^2 = 14$,则 $(a - b)^2 = $
9
.答案
9
解析
由完全平方公式，有$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
已知$(a + b)^2 = 19$，$a^2 + b^2 = 14$，
将$a^2 + b^2 = 14$代入$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$中，可得：
$19 = 14 + 2ab$，
移项可得：
$2ab = 19 - 14 = 5$，
由完全平方公式，$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，
将$a^2 + b^2 = 14$，$2ab = 5$代入$a^2 - 2ab + b^2$中，可得：
$(a - b)^2 = 14 - 5 = 9$。
已知$(a + b)^2 = 19$，$a^2 + b^2 = 14$，
将$a^2 + b^2 = 14$代入$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$中，可得：
$19 = 14 + 2ab$，
移项可得：
$2ab = 19 - 14 = 5$，
由完全平方公式，$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，
将$a^2 + b^2 = 14$，$2ab = 5$代入$a^2 - 2ab + b^2$中，可得：
$(a - b)^2 = 14 - 5 = 9$。
探究三 平方差公式、完全平方公式的综合运用
例3 化简求值: $(2a - b)^2 - (2a + b) \cdot (2a - b)$,其中 $a = -1$, $b = 2$.
例3 化简求值: $(2a - b)^2 - (2a + b) \cdot (2a - b)$,其中 $a = -1$, $b = 2$.
答案
解题步骤：
1. 展开完全平方公式：
$(2a - b)^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$
2. 展开平方差公式：
$(2a + b)(2a - b) = 4a^2 - b^2$
3. 代入原式化简：
$\begin{aligned} 原式 &= (4a^2 - 4ab + b^2) - (4a^2 - b^2) \\ &= 4a^2 - 4ab + b^2 - 4a^2 + b^2 \\ &= -4ab + 2b^2 \end{aligned}$
4. 代入 $a = -1$，$b = 2$ 求值：
$\begin{aligned} 原式 &= -4(-1)(2) + 2(2)^2 \\ &= 8 + 8 \\ &= 16 \end{aligned}$
最终结论：
$\boxed{16}$
1. 展开完全平方公式：
$(2a - b)^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$
2. 展开平方差公式：
$(2a + b)(2a - b) = 4a^2 - b^2$
3. 代入原式化简：
$\begin{aligned} 原式 &= (4a^2 - 4ab + b^2) - (4a^2 - b^2) \\ &= 4a^2 - 4ab + b^2 - 4a^2 + b^2 \\ &= -4ab + 2b^2 \end{aligned}$
4. 代入 $a = -1$，$b = 2$ 求值：
$\begin{aligned} 原式 &= -4(-1)(2) + 2(2)^2 \\ &= 8 + 8 \\ &= 16 \end{aligned}$
最终结论：
$\boxed{16}$
变式训练 先化简,再求值: $(2x + y)^2 - (2x + y)(2x - y) - 2y(x + y)$,其中 $x = 3$, $y = -2$.
答案
-12
解析
化简过程：
$\begin{aligned}&(2x + y)^2 - (2x + y)(2x - y) - 2y(x + y)\\=&(4x^2 + 4xy + y^2) - [(2x)^2 - y^2] - (2xy + 2y^2)\\=&4x^2 + 4xy + y^2 - 4x^2 + y^2 - 2xy - 2y^2\\=&(4x^2 - 4x^2) + (4xy - 2xy) + (y^2 + y^2 - 2y^2)\\=&2xy\end{aligned}$
代入求值：
当 $x = 3$，$y = -2$ 时，
原式 $= 2×3×(-2) = -12$
$\begin{aligned}&(2x + y)^2 - (2x + y)(2x - y) - 2y(x + y)\\=&(4x^2 + 4xy + y^2) - [(2x)^2 - y^2] - (2xy + 2y^2)\\=&4x^2 + 4xy + y^2 - 4x^2 + y^2 - 2xy - 2y^2\\=&(4x^2 - 4x^2) + (4xy - 2xy) + (y^2 + y^2 - 2y^2)\\=&2xy\end{aligned}$
代入求值：
当 $x = 3$，$y = -2$ 时，
原式 $= 2×3×(-2) = -12$
