1.设直角三角形中一个锐角度数为x(0＜x＜90),另一个锐角度数为y(0＜y＜90),则y与x的关系式为()
A.y= 180+x
B.y= 180-x
C.y= 90+x
D.y= 90-x

D

在直角三角形中，三个角的度数之和为$180^\circ$，其中一个角为直角，度数为$90^\circ$，所以两个锐角的度数之和为$90^\circ$，即$x + y = 90^\circ$，因此$y = 90^\circ - x$。

2.如图,已知∠AOD= 30°,点C是射线OD上
的一个动点,点C在运动过程中,当∠A=
______时,△AOC是直角三角形.

60°或90°

在△AOC中，∠AOD=30°，即∠AOC=30°。要使△AOC是直角三角形，分三种情况：
1. 若∠A=90°，则△AOC是直角三角形；
2. 若∠ACO=90°，则∠A=180°-∠AOC-∠ACO=180°-30°-90°=60°；
3. 若∠AOC=90°，但∠AOC=30°≠90°，此情况不成立。
综上，∠A=60°或90°。

3.(2024.四川凉山州中考)如图,在△ABC中,∠BCD= 30°,∠ACB= 80°,CD是边AB上的高,AE是∠CAB的平分线,则∠AEB为.

100°

在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠BCD=30°，则∠B=90°-30°=60°；在△ABC中，∠ACB=80°，∠B=60°，故∠CAB=180°-80°-60°=40°；AE平分∠CAB，所以∠EAB=40°÷2=20°；在△AEB中，∠AEB=180°-∠EAB-∠B=180°-20°-60°=100°。

4.在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC= 30°,∠CAD= 20°,则∠BAC 为.

40°或80°

分两种情况讨论：
1. 当AD在△ABC内部时，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=20°，则∠C=90°-20°=70°。在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-30°-70°=80°。
2. 当AD在△ABC外部时，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=20°，则∠ACD=90°-20°=70°，故∠ACB=180°-70°=110°。在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-30°-110°=40°。
综上，∠BAC为40°或80°。

5.如图,在△ABC中,∠A= ∠BCD,CD⊥
AB于点D,BE平分∠ABC分别交CD,
CA于点F,E.

求证:(1)△ABC是直角三角形;
(2)∠CEF= ∠CFE.

(1)∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，在Rt△ACD中，∠A+∠ACD=90°（直角三角形两锐角互余）。∵∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形。
(2)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE。∵∠ACB=90°，在Rt△BCE中，∠CEF+∠CBE=90°，∴∠CEF=90°-∠CBE。∵CD⊥AB，∠BDF=90°，在Rt△BDF中，∠DFB+∠ABE=90°，∴∠DFB=90°-∠ABE。∵∠ABE=∠CBE，∴∠DFB=90°-∠CBE。∵∠CFE=∠DFB（对顶角相等），∴∠CFE=90°-∠CBE，∴∠CEF=∠CFE。

6.如图,在△ABC中,AE平分∠BAC,∠B=
40°,∠C= 70°,F为射线AE上一点(不
与点E重合),且FD⊥BC于点D.


(1)若点F与点A重合,如图1,求∠EFD
的度数;
(2)若点F在线段AE上(不与点A重
合),如图2,求∠EFD的度数;
(3)若点F在△ABC外部,如图3,求
∠EFD的度数;
(4)直接写出∠EFD与∠B,∠C(∠C＞
∠B)的数量关系.

(1)15°；(2)15°；(3)15°；(4)∠EFD=(∠C-∠B)/2。

(1)在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°，AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC/2=35°。
∵FD⊥BC（F与A重合），∴∠ADC=90°，在Rt△ADC中，∠CAD=90°-∠C=90°-70°=20°，
∴∠EFD=∠EAD=∠CAE-∠CAD=35°-20°=15°。
(2)由(1)知∠CAE=35°，在△AEC中，∠AEC=180°-∠CAE-∠C=180°-35°-70°=75°。
∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°，在Rt△FDE中，∠EFD=90°-∠AEC=90°-75°=15°。
(3)∵AE平分∠BAC，∠CAE=35°，在△AEC中，∠AEC=75°（同(2)）。
∵F在AE延长线上，FD⊥BC，∠FDE=90°，∠FED=∠AEC=75°（对顶角相等），
∴∠EFD=90°-∠FED=90°-75°=15°。
(4)∠EFD=(∠C-∠B)/2。