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1. 如图,若AD= AC,∠BAD= ∠CAE,则添加一个条件不能证明△ABC≌△AED的是(
A.AB= AE
B.∠B= ∠E
C.∠C= ∠D
D.BC= DE
D
)A.AB= AE
B.∠B= ∠E
C.∠C= ∠D
D.BC= DE
答案
D
解析
已知AD=AC，∠BAD=∠CAE，可得∠BAC=∠EAD（等式性质）。选项A：AB=AE，结合AD=AC，∠BAC=∠EAD，可由SAS证全等；选项B：∠B=∠E，结合∠BAC=∠EAD，AD=AC，可由AAS证全等；选项C：∠C=∠D，结合∠BAC=∠EAD，AD=AC，可由ASA证全等；选项D：BC=DE，SSA不能判定全等。
2. (2024·黑龙江牡丹江中考)如图,在△ABC中,D是AB上一点,CF//AB,D,E,F三点共线,请添加一个条件
AD=CF（或∠A=∠ECF或DE=FE等，答案不唯一）
,使得AE= CE。答案
AD=CF（或∠A=∠ECF或DE=FE等，答案不唯一）
解析
∵CF//AB，∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。要使AE=CE，可证△ADE≌△CFE。已知∠AED=∠CEF（对顶角相等），∠ADE=∠CFE，添加条件AD=CF，根据ASA可证△ADE≌△CFE，从而AE=CE。（或添加∠A=∠ECF，根据AAS可证全等；或添加DE=FE，根据AAS可证全等）
3. 如图,在△ABC中,AB= AC,AB＞BC,点D在边BC上,CD= 2BD,点E,F在线段AD上,∠1= ∠2= ∠BAC,若△ABC的面积为18,则△ACF与△BDE的面积之和是(
A.6
B.8
C.9
D.12
A
)A.6
B.8
C.9
D.12
答案
A
解析
设∠BAC=α，则∠1=∠2=α。在△ABC中，AB=AC，故∠ABC=∠ACB=(180°-α)/2。
由∠1=α，得∠BED=α（E在AD上），根据三角形外角性质：∠BED=∠BAE+∠ABE，即α=∠BAE+∠ABE。又∠BAC=α=∠BAE+∠CAD，故∠ABE=∠CAD。同理可得∠ACF=∠BAD。
在△ABE和△CAF中，∠ABE=∠CAD，AB=AC，∠BAE=∠ACF，故△ABE≌△CAF（ASA），则S△ABE=S△CAF。
因CD=2BD，△ABC面积为18，故S△ABD=6，S△ACD=12。
易证△BDE∽△CDF（AA），相似比1:2，面积比1:4。设S△BDE=y，则S△CDF=4y。
由S△ABD=S△ABE+S△BDE+S△AED=S△CAF+y+S△AED=6，S△ACD=S△CAF+4y+S△AFD=12，且S△AED=S△AFD，解得S△CAF+y=6。
即△ACF与△BDE面积之和为6。
由∠1=α，得∠BED=α（E在AD上），根据三角形外角性质：∠BED=∠BAE+∠ABE，即α=∠BAE+∠ABE。又∠BAC=α=∠BAE+∠CAD，故∠ABE=∠CAD。同理可得∠ACF=∠BAD。
在△ABE和△CAF中，∠ABE=∠CAD，AB=AC，∠BAE=∠ACF，故△ABE≌△CAF（ASA），则S△ABE=S△CAF。
因CD=2BD，△ABC面积为18，故S△ABD=6，S△ACD=12。
易证△BDE∽△CDF（AA），相似比1:2，面积比1:4。设S△BDE=y，则S△CDF=4y。
由S△ABD=S△ABE+S△BDE+S△AED=S△CAF+y+S△AED=6，S△ACD=S△CAF+4y+S△AFD=12，且S△AED=S△AFD，解得S△CAF+y=6。
即△ACF与△BDE面积之和为6。
4. 如图,AB//CD,AE//CF,BF= DE。求证AB= CD。
答案
证明：
∵$AB// CD$，
根据两直线平行，内错角相等，
∴$\angle B = \angle D$。
∵$AE// CF$，
∴$\angle AEF = \angle CFB$。
又因为$\angle AEB + \angle AEF = 180^{\circ}$，$\angle CFB + \angle CFD = 180^{\circ}$。
∴$\angle AEB = \angle CFD$。
∵$BF = DE$，
∴$BF + EF = DE + EF$，
即$BE = DF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases} \angle B = \angle D,\\BE = DF, \\ \angle AEB = \angle CFD.\end{cases}$
根据$ASA$（角边角）判定定理。
∴$\triangle ABE ≌ \triangle CDF$。
∴$AB = CD$。
∵$AB// CD$，
根据两直线平行，内错角相等，
∴$\angle B = \angle D$。
∵$AE// CF$，
∴$\angle AEF = \angle CFB$。
又因为$\angle AEB + \angle AEF = 180^{\circ}$，$\angle CFB + \angle CFD = 180^{\circ}$。
∴$\angle AEB = \angle CFD$。
∵$BF = DE$，
∴$BF + EF = DE + EF$，
即$BE = DF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases} \angle B = \angle D,\\BE = DF, \\ \angle AEB = \angle CFD.\end{cases}$
根据$ASA$（角边角）判定定理。
∴$\triangle ABE ≌ \triangle CDF$。
∴$AB = CD$。
5. 如图1,已知△ABC中,∠BAC= 90°,AB= AC,AE是过点A的一条直线,且点B和点C在AE的异侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E。
(1)求证：BD= DE+CE。
(2)如图2,若直线AE绕点A旋转到该位置时(BD＜CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的关系如何？请予以证明。
(3)若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置时(BD＞CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的关系如何？请直接写出结果,不需说明理由。
(1)求证：BD= DE+CE。
(2)如图2,若直线AE绕点A旋转到该位置时(BD＜CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的关系如何？请予以证明。
(3)若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置时(BD＞CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的关系如何？请直接写出结果,不需说明理由。
答案
(1)证明：
∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB=∠AEC=90°．
∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．
∵∠ABD+∠BAD=90°，∴∠ABD=∠CAE（同角的余角相等）．
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ADB=∠CEA\\∠ABD=∠CAE\\AB=AC\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE(AAS)．
∴BD=AE，AD=CE．
∵AE=AD+DE，∴BD=CE+DE，即BD=DE+CE．
(2)BD=CE-DE．
证明：
∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB=∠AEC=90°．
∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．
∵∠ACE+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠ACE（同角的余角相等）．
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ADB=∠CEA\\∠BAD=∠ACE\\AB=AC\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE(AAS)．
∴BD=AE，AD=CE．
∵DE=AD-AE，∴DE=CE-BD，即BD=CE-DE．
(3)BD=DE-CE．
∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB=∠AEC=90°．
∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．
∵∠ABD+∠BAD=90°，∴∠ABD=∠CAE（同角的余角相等）．
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ADB=∠CEA\\∠ABD=∠CAE\\AB=AC\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE(AAS)．
∴BD=AE，AD=CE．
∵AE=AD+DE，∴BD=CE+DE，即BD=DE+CE．
(2)BD=CE-DE．
证明：
∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB=∠AEC=90°．
∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．
∵∠ACE+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠ACE（同角的余角相等）．
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠ADB=∠CEA\\∠BAD=∠ACE\\AB=AC\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE(AAS)．
∴BD=AE，AD=CE．
∵DE=AD-AE，∴DE=CE-BD，即BD=CE-DE．
(3)BD=DE-CE．
