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2. $x^{2m + 2}$ 可以写成(
A.$2x^{m + 2}$
B.$x^{2m} + x^{2}$
C.$x^{2}\cdot x^{m + 1}$
D.$x^{2m}\cdot x^{2}$
D
)A.$2x^{m + 2}$
B.$x^{2m} + x^{2}$
C.$x^{2}\cdot x^{m + 1}$
D.$x^{2m}\cdot x^{2}$
答案
D
解析
根据同底数幂的乘法法则，$x^a \cdot x^b = x^{a+b}$。
题目中 $x^{2m+2}$ 可拆分为 $x^{2m} \cdot x^2$，符合选项 D 的形式。
其他选项：
A. $2x^{m+2}$ 是系数与指数的错误结合；
B. $x^{2m} + x^2$ 是加法，无法简化成单一幂；
C. $x^2 \cdot x^{m+1} = x^{m+3}$，与题目指数不符。
题目中 $x^{2m+2}$ 可拆分为 $x^{2m} \cdot x^2$，符合选项 D 的形式。
其他选项：
A. $2x^{m+2}$ 是系数与指数的错误结合；
B. $x^{2m} + x^2$ 是加法，无法简化成单一幂；
C. $x^2 \cdot x^{m+1} = x^{m+3}$，与题目指数不符。
3. 已知 $3^{x} = y$,则 $3^{x + 1} = ($
A.$y$
B.$1 + y$
C.$3 + y$
D.$3y$
D
)A.$y$
B.$1 + y$
C.$3 + y$
D.$3y$
答案
D
解析
因为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以$3^{x + 1}=3^x × 3$。又因为$3^x = y$，所以$3^{x + 1}=y× 3 = 3y$。
1. 计算 $a^{2}\cdot a^{3}$,结果正确的是(
A.$a^{5}$
B.$a^{6}$
C.$a^{8}$
D.$a^{9}$
A
)A.$a^{5}$
B.$a^{6}$
C.$a^{8}$
D.$a^{9}$
答案
A
解析
根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$。
对于 $a^2 \cdot a^3$，底数 $a$ 不变，指数 $2$ 和 $3$ 相加，结果为 $a^{2+3} = a^5$。
对于 $a^2 \cdot a^3$，底数 $a$ 不变，指数 $2$ 和 $3$ 相加，结果为 $a^{2+3} = a^5$。
2. 下列算式中结果等于 $m^{7}$ 的是(
A.$(-m)^{2}\cdot (-m)^{5}$
B.$(-m^{2})\cdot m^{5}$
C.$(-m)^{3}\cdot (-m^{4})$
D.$(-m)\cdot (-m)^{6}$
C
)A.$(-m)^{2}\cdot (-m)^{5}$
B.$(-m^{2})\cdot m^{5}$
C.$(-m)^{3}\cdot (-m^{4})$
D.$(-m)\cdot (-m)^{6}$
答案
C
解析
A. $(-m)^{2} \cdot (-m)^{5} = m^{2} \cdot (-m^{5}) = -m^{7}$，不满足条件。
B. $(-m^{2}) \cdot m^{5} = -m^{7}$，不满足条件。
C. $(-m)^{3} \cdot (-m^{4}) = -m^{3} \cdot (-m^{4}) = m^{7}$，满足条件。
D. $(-m) \cdot (-m)^{6} = -m \cdot m^{6} = -m^{7}$，不满足条件。
B. $(-m^{2}) \cdot m^{5} = -m^{7}$，不满足条件。
C. $(-m)^{3} \cdot (-m^{4}) = -m^{3} \cdot (-m^{4}) = m^{7}$，满足条件。
D. $(-m) \cdot (-m)^{6} = -m \cdot m^{6} = -m^{7}$，不满足条件。
3. 在等式 $a^{5}\cdot (-a)\cdot ($ ) $= a^{12}$ 中,括号内的代数式应是(
A.$a^{6}$
B.$(-a)^{6}$
C.$-a^{6}$
D.$(-a)^{7}$
C
)A.$a^{6}$
B.$(-a)^{6}$
C.$-a^{6}$
D.$(-a)^{7}$
答案
C
解析
根据题意，设括号内的代数式为 $x$，则有等式 $a^{5} \cdot (-a) \cdot x = a^{12}$。
首先，计算 $a^{5} \cdot (-a)$：
$a^{5} \cdot (-a) = -a^{5+1} = -a^{6}$，
将结果代入原等式，得到：
$-a^{6} \cdot x = a^{12}$，
解这个等式，得到：
$x = \frac{a^{12}}{-a^{6}} = -a^{6}$。
首先，计算 $a^{5} \cdot (-a)$：
$a^{5} \cdot (-a) = -a^{5+1} = -a^{6}$，
将结果代入原等式，得到：
$-a^{6} \cdot x = a^{12}$，
解这个等式，得到：
$x = \frac{a^{12}}{-a^{6}} = -a^{6}$。
4. 如果 $x^{2 + m}\cdot x^{3} = x^{5}$,那么 $m$ 等于(
A.0
B.1
C.2
D.3
A
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
A
解析
根据同底数幂的乘法法则，有 $x^{2 + m} \cdot x^{3} = x^{(2 + m) + 3} = x^{5 + m}$。
题目给出 $x^{5 + m} = x^{5}$，因此指数相等，即 $5 + m = 5$，解得 $m = 0$。
题目给出 $x^{5 + m} = x^{5}$，因此指数相等，即 $5 + m = 5$，解得 $m = 0$。
5. 若规定 $a\otimes b = 10^{a}×10^{b}$,如 $2\otimes 3 = 10^{2}×10^{3} = 10^{5}$,则 $3\otimes 4$ 等于(
A.12
B.$10^{12}$
C.$7^{10}$
D.$10^{7}$
D
)A.12
B.$10^{12}$
C.$7^{10}$
D.$10^{7}$
答案
D
解析
根据定义 $a\otimes b = 10^{a} × 10^{b}$，
所以 $3\otimes 4 = 10^{3} × 10^{4}$。
根据同底数幂的乘法法则，$10^{3} × 10^{4} = 10^{3+4} = 10^{7}$。
6. 已知 $x + y - 3 = 0$,则 $2^{y}\cdot 2^{x}$ 的值是(
A.6
B.-6
C.$\frac{1}{8}$
D.8
D
)A.6
B.-6
C.$\frac{1}{8}$
D.8
答案
D
解析
由题意知$x + y - 3 = 0$，可得$x + y = 3$。
根据同底数幂的乘法法则，有$2^y \cdot 2^x = 2^{x+y}$。
将$x + y = 3$代入，得$2^{x+y} = 2^3 = 8$。
根据同底数幂的乘法法则，有$2^y \cdot 2^x = 2^{x+y}$。
将$x + y = 3$代入，得$2^{x+y} = 2^3 = 8$。
7. 如果 $a^{x} = 4$,$a^{y} = 9$,那么 $a^{x + y}$ 的值为(
A.13
B.5
C.-36
D.36
D
)A.13
B.5
C.-36
D.36
答案
D
解析
因为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以$a^{x + y} = a^x \cdot a^y$。已知$a^x = 4$，$a^y = 9$，则$a^{x + y} = 4×9 = 36$。
8. 已知 $2^{x + 2} = 20$,则 $2^{x}$ 的值为
5
。答案
5
解析
因为$2^{x + 2} = 2^x × 2^2 = 4 × 2^x$，已知$2^{x + 2} = 20$，所以$4 × 2^x = 20$，则$2^x = 20 ÷ 4 = 5$。
9. 若 $x$,$y$ 都是正整数,且 $2^{x}×2^{y} = 2^{5}$,则 $x$,$y$ 的值有
4
对。答案
4
解析
根据同底数幂的乘法法则，有 $2^{x} × 2^{y} = 2^{x+y}$。
由题意知 $2^{x+y} = 2^{5}$，根据幂的性质，当底数相同时，指数也必须相等，即 $x + y = 5$。
因为 $x$ 和 $y$ 都是正整数，所以可能的组合有：
$x = 1$，$y = 4$，
$x = 2$，$y = 3$，
$x = 3$，$y = 2$，
$x = 4$，$y = 1$，
所以总共有 4 对可能的组合。
由题意知 $2^{x+y} = 2^{5}$，根据幂的性质，当底数相同时，指数也必须相等，即 $x + y = 5$。
因为 $x$ 和 $y$ 都是正整数，所以可能的组合有：
$x = 1$，$y = 4$，
$x = 2$，$y = 3$，
$x = 3$，$y = 2$，
$x = 4$，$y = 1$，
所以总共有 4 对可能的组合。
10. 若 $2^{10}×8×16 = 2^{n}$,则 $n = $
17
。答案
$17$
解析
将$8$和$16$都表示为以$2$为底的幂，
$8 = 2^{3}, \quad 16 = 2^{4}$，
将原式中的数字替换为以$2$为底的幂形式：
$2^{10} × 8 × 16 = 2^{10} × 2^{3} × 2^{4}$，
应用同底数幂的乘法法则，即$a^{m} × a^{n} = a^{m+n}$，进行计算：
$2^{10} × 2^{3} × 2^{4} = 2^{10+3+4} = 2^{17}$，
由于题目给出$2^{10} × 8 × 16 = 2^{n}$，可以得出：
$n = 17$。
$8 = 2^{3}, \quad 16 = 2^{4}$，
将原式中的数字替换为以$2$为底的幂形式：
$2^{10} × 8 × 16 = 2^{10} × 2^{3} × 2^{4}$，
应用同底数幂的乘法法则，即$a^{m} × a^{n} = a^{m+n}$，进行计算：
$2^{10} × 2^{3} × 2^{4} = 2^{10+3+4} = 2^{17}$，
由于题目给出$2^{10} × 8 × 16 = 2^{n}$，可以得出：
$n = 17$。
11. 若 $4^{m} = 8$,$4^{n} = 2$,则 $m + n = $
2
。答案
2
解析
因为$4^{m} × 4^{n} = 4^{m + n}$，又$4^{m} = 8$，$4^{n} = 2$，所以$4^{m} × 4^{n} = 8 × 2 = 16$。而$16 = 4^{2}$，即$4^{m + n} = 4^{2}$，所以$m + n = 2$。
12. 计算：
(1)$(-x)^{4}\cdot x^{3} - x^{7} - 2x^{3}\cdot (-x)^{4}$；
(2)$y\cdot y^{2}\cdot y^{m + 2} - 2y^{m}\cdot y^{5}$；
(3)$(x - y)^{2}\cdot (x - y)^{3} - (x - y)^{4}\cdot (y - x)$。
(1)$(-x)^{4}\cdot x^{3} - x^{7} - 2x^{3}\cdot (-x)^{4}$；
(2)$y\cdot y^{2}\cdot y^{m + 2} - 2y^{m}\cdot y^{5}$；
(3)$(x - y)^{2}\cdot (x - y)^{3} - (x - y)^{4}\cdot (y - x)$。
答案
(1)
$\begin{aligned}&(-x)^{4}\cdot x^{3} - x^{7} - 2x^{3}\cdot (-x)^{4}\\=&x^{4}\cdot x^{3}-x^{7}-2x^{3}\cdot x^{4}\\=&x^{4 + 3}-x^{7}-2x^{3 + 4}\\=&x^{7}-x^{7}-2x^{7}\\=&-2x^{7}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&y\cdot y^{2}\cdot y^{m + 2} - 2y^{m}\cdot y^{5}\\=&y^{1+2+(m + 2)}-2y^{m + 5}\\=&y^{m + 5}-2y^{m + 5}\\=&-y^{m + 5}\end{aligned}$
(3)
因为$y - x=-(x - y)$，所以
$\begin{aligned}&(x - y)^{2}\cdot (x - y)^{3} - (x - y)^{4}\cdot (y - x)\\=&(x - y)^{2 + 3}+(x - y)^{4}\cdot (x - y)\\=&(x - y)^{5}+(x - y)^{5}\\=&2(x - y)^{5}\end{aligned}$
综上，答案依次为：(1)$-2x^{7}$；(2)$-y^{m + 5}$；(3)$2(x - y)^{5}$。
$\begin{aligned}&(-x)^{4}\cdot x^{3} - x^{7} - 2x^{3}\cdot (-x)^{4}\\=&x^{4}\cdot x^{3}-x^{7}-2x^{3}\cdot x^{4}\\=&x^{4 + 3}-x^{7}-2x^{3 + 4}\\=&x^{7}-x^{7}-2x^{7}\\=&-2x^{7}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&y\cdot y^{2}\cdot y^{m + 2} - 2y^{m}\cdot y^{5}\\=&y^{1+2+(m + 2)}-2y^{m + 5}\\=&y^{m + 5}-2y^{m + 5}\\=&-y^{m + 5}\end{aligned}$
(3)
因为$y - x=-(x - y)$，所以
$\begin{aligned}&(x - y)^{2}\cdot (x - y)^{3} - (x - y)^{4}\cdot (y - x)\\=&(x - y)^{2 + 3}+(x - y)^{4}\cdot (x - y)\\=&(x - y)^{5}+(x - y)^{5}\\=&2(x - y)^{5}\end{aligned}$
综上，答案依次为：(1)$-2x^{7}$；(2)$-y^{m + 5}$；(3)$2(x - y)^{5}$。
13. 已知 $x^{a + b}\cdot x^{2b - a} = x^{9}$,求 $(-3)^{b}\cdot (-3)^{3}$ 的值。
答案
$729$。
解析
解题过程如下：
根据同底数幂的乘法法则，有：
$x^{a + b} \cdot x^{2b - a} = x^{(a + b) + (2b - a)} = x^{3b}$，
由题意知，$x^{3b} = x^{9}$，
由于底数相同，指数也必须相同，因此：
$3b = 9$，
解得：
$b = 3$，
接下来，根据同底数幂的乘法法则计算$(-3)^{b} \cdot (-3)^{3}$：
$(-3)^{b} \cdot (-3)^{3} = (-3)^{3 + 3} = (-3)^{6} = 729$。
最终
根据同底数幂的乘法法则，有：
$x^{a + b} \cdot x^{2b - a} = x^{(a + b) + (2b - a)} = x^{3b}$，
由题意知，$x^{3b} = x^{9}$，
由于底数相同，指数也必须相同，因此：
$3b = 9$，
解得：
$b = 3$，
接下来，根据同底数幂的乘法法则计算$(-3)^{b} \cdot (-3)^{3}$：
$(-3)^{b} \cdot (-3)^{3} = (-3)^{3 + 3} = (-3)^{6} = 729$。
最终
14. (1)定义一种新运算 $(a, b)$,若 $a^{c} = b$,则 $(a, b) = c$,例 $(2, 8) = 3$,$(3, 81) = 4$。若 $(4, n) = 3$,则 $n = $
(2)已知 $x$ 满足 $2^{2x + 2} - 2^{2x + 1} = 32$,则 $x$ 的值为
64
；若 $(3, 7) + (3, 11) = (3, m)$,则 $m$ 的值为77
。(2)已知 $x$ 满足 $2^{2x + 2} - 2^{2x + 1} = 32$,则 $x$ 的值为
2
。答案
(1) $64$，$77$；
(2) $2$
解析
(1)
对于 $(4, n) = 3$，根据定义有 $4^3 = n$，所以 $n = 64$。
对于 $(3, 7) + (3, 11) = (3, m)$，设 $(3, 7) = x$，$(3, 11) = y$，则 $3^x = 7$，$3^y = 11$。
根据同底数幂的乘法法则，$3^{x+y} = 3^x × 3^y = 7 × 11 = 77$，所以 $(3, m) = x + y$，即 $m = 77$。
(2)
已知 $2^{2x + 2} - 2^{2x + 1} = 32$，化简为 $2^{2x + 1} × (2 - 1) = 32$，即 $2^{2x + 1} = 32$。
因为 $32 = 2^5$，所以 $2x + 1 = 5$，解得 $x = 2$。
对于 $(4, n) = 3$，根据定义有 $4^3 = n$，所以 $n = 64$。
对于 $(3, 7) + (3, 11) = (3, m)$，设 $(3, 7) = x$，$(3, 11) = y$，则 $3^x = 7$，$3^y = 11$。
根据同底数幂的乘法法则，$3^{x+y} = 3^x × 3^y = 7 × 11 = 77$，所以 $(3, m) = x + y$，即 $m = 77$。
(2)
已知 $2^{2x + 2} - 2^{2x + 1} = 32$，化简为 $2^{2x + 1} × (2 - 1) = 32$，即 $2^{2x + 1} = 32$。
因为 $32 = 2^5$，所以 $2x + 1 = 5$，解得 $x = 2$。
