6. 如图,$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的高线,且 $ BD = \frac{1}{2}AC $,$ E $ 是 $ AC $ 的中点,连接 $ BE $,取 $ BE $ 的中点 $ F $,连接 $ DF $. 求证：$ DF \perp BE $.

证明：连接​DE​
∵​AD​是​∆ABC​的高线，​E​是​AC​的中点
∴在​Rt∆ADC​中，$​DE=\frac 12AC​$
∵$​BD=\frac 12AC，$​∴​DE=BD​
∴​∆BDE​是等腰三角形
∵​F ​是​BE​的中点
∴​DF⊥BE​

7. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $,$ BD \perp AD $,垂足为 $ D $,过点 $ D $ 作 $ DE // AC $,交 $ AB $ 于 $ E $,若 $ AB = 5 $,则线段 $ DE $ 的长为多少？

解：∵​AD ​平分​∠BAC，​∴​∠BAD = ∠CAD​
∵​DE//AC，​∴​∠CAD = ∠ADE​
∴​∠BAD = ∠ADE，​∴​AE = DE​
∵​BD ⊥ AD，​∴​∠ADB = 90°​
∴​∠ADE + ∠BDE = 90°，​​∠BAD + ∠ABD = 90°​
∴​∠BDE = ∠ABD，​∴​BE = DE，​∴​BE = DE = AE​
∵​AB = 5，​∴$​DE=\frac 12\ \mathrm {A}B=2.5​$

8. (1)如图①,$ P $ 是 $ \angle AOB $ 的内部任意一点,$ PM \perp OA $,$ PN \perp OB $,垂足分别是 $ M $,$ N $,$ D $ 是 $ OP $ 的中点. 求证：$ \angle MDN = 2 \angle MON $.
(2)如图②,若 $ P $ 是 $ \angle AOB $ 的外部任意一点,$ PM \perp OA $,$ PN \perp OB $,垂足分别是 $ M $,$ N $,$ D $ 是 $ OP $ 的中点,$ \angle MDN $ 与 $ \angle MON $ 有何数量关系？并说明理由.

​(1)​证明：∵​PM⊥OA，​∴​∠OMP=90°​
在​Rt∆OMP ​中，​D​是​OP ​的中点，∴$​DM=\frac 12OP=DO​$
∴​∠DMO=∠DOM，​∴​∠MDP=2∠MOP​
同理可知，​∠NDP=2∠NOP​
∴​∠MDN=∠MDP+∠NDP=2∠MON​
​(2)​解：​∠MDN=2∠MON，​理由如下：
∵​PM⊥OA，​∴​∠OMP=90°​
在​Rt∆OMP ​中，​D​是​OP ​的中点，∴$​DM=\frac 12OP=DO​$
∴​∠DMO=∠DOM，​∴​∠MDP=2∠MOP​
同理可知，​∠NDP=2∠NOP​
∴​∠MDN=∠NDP-∠MDP=2(∠NOP-∠MOP)=2∠MON​