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4. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE= FC。求证：BD= DF。
答案
证明:
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,
∴DC=DE.
在△DCF和△DEB中,{DC=DE,∠C=∠BED,CF=EB,
∴△DCF≌△DEB(SAS),
∴BD=DF.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,
∴DC=DE.
在△DCF和△DEB中,{DC=DE,∠C=∠BED,CF=EB,
∴△DCF≌△DEB(SAS),
∴BD=DF.
5. 用直尺和圆规作∠AOB的平分线的方法如下：如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧分别交OA,OB于点C,D,再分别以点C,D为圆心,以大于1/2CD长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP,由作法得△OCP≌△ODP,根据是(
A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.SSS
D
)A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.SSS
答案
D
解析
由作法可知：$OC = OD$，$CP = DP$，$OP = OP$，所以$\triangle OCP \cong \triangle ODP$（SSS）。
D
D
6. 如图,P是∠AOB的平分线OC上一点,过点P作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,连接DE,下列结论不一定成立的是(
A.∠AOC= ∠COB
B.PD= PE
C.OD= OE
D.∠DOP= ∠DPO
D
)A.∠AOC= ∠COB
B.PD= PE
C.OD= OE
D.∠DOP= ∠DPO
答案
D
解析
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠COB，选项A成立；
∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，选项B成立；
在Rt△ODP和Rt△OEP中，
$\left\{\begin{array}{l} OP=OP\\ PD=PE\end{array}\right.$，
∴Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），
∴OD=OE，选项C成立；
无法得出∠DOP=∠DPO，选项D不一定成立。
D
7. 如图,在△ABC中,∠A= 90°,AC= AB,BD平分∠CBA,DE⊥BC,BC= 8,则△DEC的周长为(
A.5
B.6
C.7
D.8
D
)A.5
B.6
C.7
D.8
答案
D
解析
∵∠A=90°，DE⊥BC，BD平分∠CBA，
∴AD=DE，∠BAD=∠BED=90°。
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l} BD=BD\\ AD=ED\end{array}\right.$，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB=EB。
∵AB=AC，
∴AC=EB。
△DEC的周长=DE+EC+DC=AD+DC+EC=AC+EC=EB+EC=BC=8。
答案：D
8. 如图,在△ABC中,∠A= 90°,BD是角平分线,若AD= m,BC= n,则△BDC的面积为
1/2mn
。答案
1/2mn
解析
过点$D$作$DE \perp BC$于点$E$。
因为$BD$是$\angle ABC$的平分线，$\angle A = 90°$，$DE \perp BC$，所以$DE = AD = m$。
$\triangle BDC$的面积为$\frac{1}{2} × BC × DE = \frac{1}{2} × n × m = \frac{1}{2}mn$。
$\frac{1}{2}mn$
因为$BD$是$\angle ABC$的平分线，$\angle A = 90°$，$DE \perp BC$，所以$DE = AD = m$。
$\triangle BDC$的面积为$\frac{1}{2} × BC × DE = \frac{1}{2} × n × m = \frac{1}{2}mn$。
$\frac{1}{2}mn$
9. 如图,已知△ABC的周长是20,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD= 3,则△ABC的面积是
30
。答案
30
解析
连接OA，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F。
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=3。
同理OF=OD=3。
∵△ABC的周长是20，
∴AB+BC+AC=20。
S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO
=$\frac{1}{2}$AB·OE+$\frac{1}{2}$BC·OD+$\frac{1}{2}$AC·OF
=$\frac{1}{2}$AB×3+$\frac{1}{2}$BC×3+$\frac{1}{2}$AC×3
=$\frac{3}{2}$(AB+BC+AC)
=$\frac{3}{2}$×20=30。
30
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=3。
同理OF=OD=3。
∵△ABC的周长是20，
∴AB+BC+AC=20。
S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO
=$\frac{1}{2}$AB·OE+$\frac{1}{2}$BC·OD+$\frac{1}{2}$AC·OF
=$\frac{1}{2}$AB×3+$\frac{1}{2}$BC×3+$\frac{1}{2}$AC×3
=$\frac{3}{2}$(AB+BC+AC)
=$\frac{3}{2}$×20=30。
30
10. 如图,在四边形ABCD中,∠A= 90°,∠BDC= 90°,AD= 2,∠ADB= ∠C,则点D到BC边的距离等于
2
。答案
2
解析
过点D作DE⊥BC于E。
∵∠A=90°，∠BDC=90°，
∴∠A=∠BDC。
∵∠ADB=∠C，
∴△ABD∽△DBC。
∴∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC。
∵∠A=90°，DE⊥BC，
∴DE=AD=2。
2
∵∠A=90°，∠BDC=90°，
∴∠A=∠BDC。
∵∠ADB=∠C，
∴△ABD∽△DBC。
∴∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC。
∵∠A=90°，DE⊥BC，
∴DE=AD=2。
2
11. 如图,在△ABC中,∠C= 90°。
(1)过点B作∠ABC的平分线交AC于点D(尺规作图,保留作图痕迹,标注有关字母,不写作法和证明)。
(2)若CD= 3,AB+BC= 16,求△ABC的面积。
(1)过点B作∠ABC的平分线交AC于点D(尺规作图,保留作图痕迹,标注有关字母,不写作法和证明)。
(2)若CD= 3,AB+BC= 16,求△ABC的面积。
答案
解:
(1)如图,射线BD为∠ABC的平分线.
(2)如图,过点D作DH⊥AB于点H.
∵BD平分∠ABC,DC⊥BC,DH⊥AB,
∴CD=DH=3,
∴S△ABC=S△BCD+S△ABD=1/2BC·CD+1/2AB·DH=1/2×3BC+1/2×3AB=1/2×3(BC+AB)=1/2×3×16=24.
