6. 若$16 - x^{n} = (2 + x)(2 - x)(4 + x^{2})$,则$n$的值为()
A.2
B.3
C.4
D.6

C

$(2+x)(2-x)(4+x^{2})$
$=(4-x^{2})(4+x^{2})$
$=16-x^{4}$
因为$16 - x^{n} = 16 - x^{4}$，所以$n=4$。
C

7. 分解因式$(a^{2} + 1)^{2} - 4a^{2}$,结果正确的是()
A.$(a^{2} + 1 + 2a)(a^{2} + 1 - 2a)$
B.$(a^{2} - 2a + 1)^{2}$
C.$(a - 1)^{4}$
D.$(a + 1)^{2}(a - 1)^{2}$

D

$(a^{2} + 1)^{2} - 4a^{2}=(a^{2} + 1)^{2}-(2a)^{2}=(a^{2} + 1 + 2a)(a^{2} + 1 - 2a)=(a + 1)^{2}(a - 1)^{2}$
D

8. 若$3x - 2y = a$,$x - 4y = b$,则$(x + y)^{2} - (2x - 3y)^{2}$的值是()
A.$-ab$
B.$ab$
C.$a^{2} + b^{2}$
D.$a^{2} - b^{2}$

A

$\begin{aligned}&(x + y)^2 - (2x - 3y)^2\\=&[(x + y) + (2x - 3y)][(x + y) - (2x - 3y)]\\=&(3x - 2y)(-x + 4y)\\=&(3x - 2y)[-(x - 4y)]\\=&a \cdot (-b)\\=&-ab\end{aligned}$
A

9. 已知$a$,$b$,$c$是三角形的三边,那么多项式$(a - b)^{2} - c^{2}$的值()
A.大于零
B.小于零
C.等于零
D.不能确定

B

$(a - b)^{2} - c^{2}=(a - b + c)(a - b - c)$，
因为$a$，$b$，$c$是三角形的三边，
所以$a + c ＞ b$，即$a - b + c ＞ 0$；
$b + c ＞ a$，即$a - b - c ＜ 0$，
则$(a - b + c)(a - b - c) ＜ 0$，
多项式的值小于零。
B

10. 对于任何整数$a(a ≠ 0)$,多项式$(3a + 5)^{2} - 4$都能()
A.被 9 整除
B.被$a$整除
C.被$a + 1$整除
D.被$a - 1$整除

C

$(3a + 5)^{2} - 4$
$=(3a + 5)^{2} - 2^{2}$
$=(3a + 5 + 2)(3a + 5 - 2)$
$=(3a + 7)(3a + 3)$
$=3(a + 1)(3a + 7)$
因为$a$是整数且$a\neq0$，所以$3(a + 1)(3a + 7)$中含有因式$(a + 1)$，故多项式能被$a + 1$整除。
C

11. 若$\frac{(9^{2} - 1)(11^{2} - 1)}{k} = 8×10×12$,则$k$的值为()
A.12
B.10
C.8
D.6

B

$\begin{aligned}\frac{(9^{2} - 1)(11^{2} - 1)}{k} &= 8×10×12\\(9^{2} - 1)(11^{2} - 1) &= (9 - 1)(9 + 1)(11 - 1)(11 + 1)\\&= 8×10×10×12\\\therefore k &= \frac{8×10×10×12}{8×10×12}\\&= 10\end{aligned}$
B

12. 已知一个长方形的面积为$a^{2} - 49(a＞7)$,其中一边长为$a - 7$,那么长方形另一边长为.

a+7

$(a^{2}-49) ÷ (a-7) = (a+7)(a-7) ÷ (a-7) = a+7$

13. $2^{32} - 1$可以被 10 和 20 之间某两个整数整除,则这两个数是.

15和17

$2^{32}-1=(2^{16}-1)(2^{16}+1)=(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)=15×17×(2^8+1)(2^{16}+1)$，这两个数是15和17。

14. 先分解因式,再求值：$(2x + 3y)^{2} - (2x - 3y)^{2}$,其中$x = \frac{1}{6}$,$y = \frac{1}{8}$.

解:原式=(2x+3y+2x-3y)(2x+3y-2x+3y)=4x×6y=24xy.当x=$\frac{1}{6}$,y=$\frac{1}{8}$时,原式=24xy=24×$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{2}$.

解:原式$=(2x + 3y + 2x - 3y)(2x + 3y - 2x + 3y)$
$=(4x)(6y)$
$=24xy$
当$x = \frac{1}{6}$，$y = \frac{1}{8}$时，
原式$=24×\frac{1}{6}×\frac{1}{8}$
$=4×\frac{1}{8}$
$=\frac{1}{2}$

15. 如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差,那么称这个自然数为智慧数,例如：$16 = 5^{2} - 3^{2}$,16 就是一个智慧数,小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：
小明的方法是一个一个找出来的：$0 = 0^{2} - 0^{2}$,$1 = 1^{2} - 0^{2}$,$3 = 2^{2} - 1^{2}$,$4 = 2^{2} - 0^{2}$,$5 = 3^{2} - 2^{2}$,$7 = 4^{2} - 3^{2}$,$8 = 3^{2} - 1^{2}$,$9 = 5^{2} - 4^{2}$,$11 = 6^{2} - 5^{2}$,……
小王认为小明的方法太麻烦,他想到：
设$k$是自然数,由于$(k + 1)^{2} - k^{2} = (k + 1 + k)(k + 1 - k) = 2k + 1$.
所以,自然数中所有奇数都是智慧数.
问题：
(1)根据上述方法,自然数中第 12 个智慧数是______.
(2)他们发现 0,4,8 是智慧数,由此猜测$4k$($k≥3$,且$k$为正整数)都是智慧数,请你参考小王的办法证明$4k$($k≥3$,且$k$为正整数)都是智慧数.

(1)15
(2)设k是自然数,由于(k+2)²-k²=(k+2+k)(k+2-k)=4k+4=4(k+1),所以4k(k≥3且k为正整数)都是智慧数.