18. 如图,在矩形ABCD中,$AB= 6$,$AD= 8$,点E在边BC上,且$BE= 3$,连接AE,过点D作$DF\perp AE$于点F,交AC于点G,则AG的长为______.

4

在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠B=∠ADC=90°，AC为对角线，由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=10。
点E在BC上，BE=3，∴EC=BC-BE=5。AE在Rt△ABE中，AE=√(AB²+BE²)=√(6²+3²)=3√5。
DF⊥AE于F，∠AFD=90°。以A为原点建立坐标系，A(0,0)，B(6,0)，C(6,8)，D(0,8)，E(6,3)。
AE的方程：y=0.5x；DF⊥AE，斜率为-2，方程：y=-2x+8。
联立AE与DF方程得F(16/5,8/5)；AC方程：y=(4/3)x，联立AC与DF方程得G(12/5,16/5)。
AG=√[(12/5)²+(16/5)²]=√(400/25)=4。

19. (本小题8分)如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1.线段AB的端点都是格点,请在图中作出它的一个三等分点M,要求:① 用两种不同的方法作图;② 作图工具仅限无刻度的直尺.

方法一：
1. 过点A作一条与AB不重合的射线AP（如沿网格水平向右）；
2. 在射线AP上依次取格点C、D，使AC=CD（利用网格等距格点）；
3. 连接DB；
4. 过点C作DB的平行线，交AB于点M；
则M为AB的一个三等分点（AM:MB=1:2）。
方法二：
1. 过点B作一条与AB不重合的射线BQ（如沿网格竖直向上）；
2. 在射线BQ上依次取格点E、F，使BE=EF（利用网格等距格点）；
3. 连接AF；
4. 过点E作AF的平行线，交AB于点M；
则M为AB的一个三等分点（BM:MA=1:2）。
（注：具体格点位置需结合网格图确定，作图依据为平行线分线段成比例定理。）

20. (本小题8分)如图,在矩形ABCD中,点P在边AD上,$PD= 2AP$,连接CP并延长,交BA的延长线于点E,连接BD交CP于点Q.
(1) 写出图中两对相似三角形;(相似比不为1)
(2) 求$\frac{BE}{CD}$的值.

(1) △EAP∽△CDP，△PQD∽△CQB；(2) 3/2。

(1) △EAP∽△CDP，△PQD∽△CQB；
(2) 设AP = x，则PD = 2x，AD = 3x。设AB = CD = a。
∵ 四边形ABCD是矩形，∴ EA//CD，∠EAP = ∠CDP = 90°。
∵ ∠EPA = ∠CPD（对顶角），∴ △EAP∽△CDP。
∴ EA/CD = AP/PD = x/(2x) = 1/2，∴ EA = (1/2)CD = (1/2)a。
∵ E在BA延长线上，∴ BE = EA + AB = (1/2)a + a = (3/2)a。
∴ BE/CD = (3/2)a / a = 3/2。

21. (本小题10分)如图,在$\triangle ABC$中,点E在射线AF上,连接BE,$\angle BAC= \angle BEF$.
(1) 在射线AF上作一点D,连接BD,使得$\triangle ABC\backsim \triangle EBD$;(不写作法,保留作图痕迹)
(2) 在(1)的条件下,连接CD,求证:$\frac{AB}{CB}= \frac{AE}{CD}$.

(1) 作图痕迹：以点B为顶点，BE为一边，在BE的同侧作∠EBD=∠ABC，角的另一边与射线AF交于点D，点D即为所求。
(2) 证明：
∵△ABC∽△EBD，
∴∠ABC=∠EBD，$\frac{AB}{EB}=\frac{CB}{DB}$。
∴∠ABC - ∠EBC=∠EBD - ∠EBC，即∠ABE=∠CBD。
由$\frac{AB}{EB}=\frac{CB}{DB}$得$\frac{AB}{CB}=\frac{EB}{DB}$。
在△ABE和△CBD中，
$\begin{cases} ∠ABE=∠CBD, \\frac{AB}{CB}=\frac{EB}{DB},\end{cases}$
∴△ABE∽△CBD（SAS）。
∴$\frac{AB}{CB}=\frac{AE}{CD}$。