4. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC= 4,E 为 BC 的中点,连接 AE,DE. 以点 E 为圆心、EB 长为半径作弧,分别与 AE,DE 交于点 M,N,则图中阴影部分的面积为.(结果保留 π)

4-π

∵四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，E为BC中点，
∴BE=EC=2，∠B=∠C=90°，AB=CD=2．
∴△ABE和△DCE均为等腰直角三角形，∠AEB=∠DEC=45°．
计算三角形面积：
S_△ABE=S_△DCE=$\frac{1}{2}×2×2=2$．
计算扇形面积：
以E为圆心，EB=2为半径，扇形BEM和扇形CEN的圆心角均为45°．
S_扇形BEM=S_扇形CEN=$\frac{45°}{360°}×π×2²=\frac{π}{2}$．
计算阴影面积：
每个阴影部分面积=三角形面积-扇形面积，即$2-\frac{π}{2}$．
总阴影面积=2×$(2-\frac{π}{2})=4-π$．

5. 如图,分别以正三角形的三个顶点为圆心,边长为半径作弧,三段弧围成的图形称为“莱洛三角形”. 若正三角形的边长为 6 cm,则该“莱洛三角形”的周长为cm.

$6\pi$

正三角形的边长为$6cm$，
由于莱洛三角形由三段圆弧组成，每段圆弧都是以正三角形的顶点为圆心，边长为半径，
根据弧长公式：$l=\alpha× r$，（$\alpha$为圆心角，$r$为半径），
这里，每段圆弧的圆心角是正三角形的一个内角，即$60°$，换算为弧度制为$\frac{\pi}{3}$，
因此，每段圆弧的长度为：
$l = \frac{\pi}{3} × 6 = 2\pi$，
由于莱洛三角形由三段这样的圆弧组成，所以其周长为：
$C = 3 × 2\pi = 6\pi$。
故答案为$6\pi$。

6. 如图,AB 是半圆 O 的直径,BD 是半圆 O 的切线,AD 交半圆 O 于点 C,连接 BC. 若∠CBD= 30°,BC= 3,求$\widehat{AC}$的长.

2π

∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对圆周角是直角）。
∵BD是半圆O的切线，∴∠ABD=90°（切线垂直于过切点的半径）。
∵∠CBD=30°，∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=90°-30°=60°。
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠BAC=30°。
∵∠BAC=30°，BC=3，∴AB=2BC=6（30°角所对直角边是斜边一半），半径r=AB/2=3。
∵∠BAC是圆周角，所对弧为BC，∴弧BC的圆心角∠BOC=2∠BAC=60°（圆周角定理）。
∵AB是直径，∴∠AOB=180°，∴弧AC的圆心角∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-60°=120°。
弧AC长l=（nπr）/180=（120×π×3）/180=2π。