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5. 如图,在 3×3 的正方形网格中有四个格点 A,B,C,D,以其中一个点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点可能是 (
A.点 A
B.点 B
C.点 C
D.点 D
B
)A.点 A
B.点 B
C.点 C
D.点 D
答案
【解析】：分别以各点为原点建立坐标系，检查其余三点是否有两点关于坐标轴对称：
若原点为A，其余三点坐标无关于坐标轴对称的情况；
若原点为B，设B(0,0)，其余三点中存在两点横坐标互为相反数、纵坐标相同（关于y轴对称）；
若原点为C，其余三点坐标无关于坐标轴对称的情况；
若原点为D，其余三点坐标无关于坐标轴对称的情况。
【答案】：B
若原点为A，其余三点坐标无关于坐标轴对称的情况；
若原点为B，设B(0,0)，其余三点中存在两点横坐标互为相反数、纵坐标相同（关于y轴对称）；
若原点为C，其余三点坐标无关于坐标轴对称的情况；
若原点为D，其余三点坐标无关于坐标轴对称的情况。
【答案】：B
6. 如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC,BC 的垂直平分线交 BC 于点 E,交 BD 于点 F,连接 CF.若∠A= 60°,∠ABD= 24°,则∠ACF 的度数为 (
A.48°
B.36°
C.30°
D.24°
A
)A.48°
B.36°
C.30°
D.24°
答案
A
解析
∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，
∴∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°。
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-48°=72°。
∵EF垂直平分BC，
∴FB=FC，
∴∠FCB=∠DBC=24°，
∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=72°-24°=48°。
A
7. 等边三角形 ABC 和等边三角形 PAF 如图所示.过点 P 作 PE⊥AC 于点 E,Q 为 BC 的延长线上一点,连接 PQ 交 AC 边于点 D.当 PA= CQ,AB= 1 时,DE 的长 (
A.等于$\frac{1}{3}$
B.等于$\frac{1}{2}$
C.等于$\frac{2}{3}$
D.不能确定
B
)A.等于$\frac{1}{3}$
B.等于$\frac{1}{2}$
C.等于$\frac{2}{3}$
D.不能确定
答案
B
解析
设 $ PA = CQ = x $，等边三角形 $ ABC $ 中，$ AB = AC = 1 $，$ \angle BAC = 60^\circ $；等边三角形 $ PAF $ 中，$ \angle PAF = 60^\circ $，故 $ AF = PA = x $，$ F $ 在 $ AC $ 上，$ AE = \frac{1}{2}PA = \frac{x}{2} $（$ PE \perp AC $，三线合一）。
$ CF = AC - AF = 1 - x $。过 $ Q $ 作 $ QG \perp AC $ 交 $ AC $ 延长线于 $ G $，$ \angle QCG = 60^\circ $（对顶角），$ CG = \frac{1}{2}CQ = \frac{x}{2} $，$ QG = \frac{\sqrt{3}}{2}x $。
$ PE = \frac{\sqrt{3}}{2}x $，故 $ PE = QG $。$ \triangle PED \cong \triangle QGD $（AAS），$ DE = DG $。
$ DG = DC + CG = DC + \frac{x}{2} $，$ DE = DF + FE = (CF - CD) + (AF - AE) = (1 - x - CD) + (x - \frac{x}{2}) = 1 - x - CD + \frac{x}{2} = 1 - \frac{x}{2} - CD $。
由 $ DE = DG $ 得：$ 1 - \frac{x}{2} - CD = CD + \frac{x}{2} $，解得 $ CD = \frac{1 - x}{2} $。
$ DE = DC + CG = \frac{1 - x}{2} + \frac{x}{2} = \frac{1}{2} $。
B
$ CF = AC - AF = 1 - x $。过 $ Q $ 作 $ QG \perp AC $ 交 $ AC $ 延长线于 $ G $，$ \angle QCG = 60^\circ $（对顶角），$ CG = \frac{1}{2}CQ = \frac{x}{2} $，$ QG = \frac{\sqrt{3}}{2}x $。
$ PE = \frac{\sqrt{3}}{2}x $，故 $ PE = QG $。$ \triangle PED \cong \triangle QGD $（AAS），$ DE = DG $。
$ DG = DC + CG = DC + \frac{x}{2} $，$ DE = DF + FE = (CF - CD) + (AF - AE) = (1 - x - CD) + (x - \frac{x}{2}) = 1 - x - CD + \frac{x}{2} = 1 - \frac{x}{2} - CD $。
由 $ DE = DG $ 得：$ 1 - \frac{x}{2} - CD = CD + \frac{x}{2} $，解得 $ CD = \frac{1 - x}{2} $。
$ DE = DC + CG = \frac{1 - x}{2} + \frac{x}{2} = \frac{1}{2} $。
B
8. 如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,边 BC 的垂直平分线 EF 交 AB 于点 D,连接 CD.若 CD= 6,则 AB 的长为 (
A.12
B.6
C.4.5
D.3
A
)A.12
B.6
C.4.5
D.3
答案
A
解析
∵EF是BC的垂直平分线，
∴CD=BD=6，
∴∠DCB=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD=6，
∴AB=AD+BD=6+6=12.
A
9. 如图,在正方形网格内,A,B,C,D 四点都在小方格的顶点上,则∠BAC+∠DAC 的度数为 (
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
C
)A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
答案
C
解析
设每个小方格边长为1。
计算得：$AC=3$，$BC=1$，$CD=2$，$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AD=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
在$AC$下方作$CE=BC=1$，$CE\perp AC$，连接$AE$，$DE$。
则$AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
在$\triangle ADE$中，$AD^2=13$，$AE^2+DE^2=(\sqrt{10})^2+(\sqrt{5})^2=15\neq13$，此方法有误。
重新构造：取点$E$使$AE=AD$，$AE\perp AD$（根据网格特点找点），易证$\triangle AED\cong\triangle ADB$，则$\angle DAE=\angle BAC$，故$\angle BAC+\angle DAC=\angle DAE+\angle DAC=\angle EAC=45^\circ$。
C
计算得：$AC=3$，$BC=1$，$CD=2$，$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AD=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
在$AC$下方作$CE=BC=1$，$CE\perp AC$，连接$AE$，$DE$。
则$AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，$DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
在$\triangle ADE$中，$AD^2=13$，$AE^2+DE^2=(\sqrt{10})^2+(\sqrt{5})^2=15\neq13$，此方法有误。
重新构造：取点$E$使$AE=AD$，$AE\perp AD$（根据网格特点找点），易证$\triangle AED\cong\triangle ADB$，则$\angle DAE=\angle BAC$，故$\angle BAC+\angle DAC=\angle DAE+\angle DAC=\angle EAC=45^\circ$。
C
