1. 计算：
(1)$(x - 1)(x + 3) = $；
(2)$(a + 5)(3 - a) = $；
(3)$(2m - 3)(m + 4) = $.

(1)$x^{2} + 2x - 3$；
(2)$- a^{2} - 2a + 15$；
(3)$2m^{2} + 5m - 12$。

(1) 使用分配律进行展开：
$(x - 1)(x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 - 1 \cdot x - 1 \cdot 3$
$= x^{2} + 3x - x - 3$
$= x^{2} + 2x - 3$
(2) 使用分配律进行展开：
$(a + 5)(3 - a) = a \cdot 3 + 5 \cdot 3 - a \cdot a - 5 \cdot a$
$= 3a + 15 - a^{2} - 5a$
$= - a^{2} - 2a + 15$
(3) 使用分配律进行展开：
$(2m - 3)(m + 4) = 2m \cdot m + 2m \cdot 4 - 3 \cdot m - 3 \cdot 4$
$= 2m^{2} + 8m - 3m - 12$
$= 2m^{2} + 5m - 12$

2. 用图1的面积可以验证多项式的乘法运算$(2a + b)(a + b) = 2a^{2} + 3ab + b^{2}$,那么用图2的面积可以验证的乘法运算是()
(图1)
(图2)
A.$(a + 4b)(a + b) = a^{2} + 5ab + 4b^{2}$
B.$(a - 4b)(a + b) = a^{2} - 3ab + 4b^{2}$
C.$(a + 4b)(a + b) = a^{2} + 4ab + 4b^{2}$
D.$(a + 3b)(a + b) = a^{2} + 4ab + 3b^{2}$

D

图2是一个长方形，长为$a + 3b$，宽为$a + b$，将其分割后，左边是一个边长为$a$的正方形，中间是三个长为$a$，宽为$b$的小长方形，右边是三个边长为$b$的正方形，根据长方形和正方形面积公式可得$(a + 3b)(a + b)=a^{2}+3ab+ab + 3b^{2}=a^{2}+4ab + 3b^{2}$。

3. 已知多项式$x^{2} + ax + b与x^{2} - 2x - 3的乘积中不含x^{3}与x^{2}$的项,则$a$,$b$的值为()
A.$a = 2$,$b = 7$
B.$a = 2$,$b = -3$
C.$a = 3$,$b = 7$
D.$a = 3$,$b = 4$

A

将两个多项式相乘：
$(x^{2}+ax+b)(x^{2}-2x-3)$
$=x^{2}(x^{2}-2x-3)+ax(x^{2}-2x-3)+b(x^{2}-2x-3)$
$=x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+ax^{3}-2ax^{2}-3ax+bx^{2}-2bx-3b$
$=x^{4}+(a - 2)x^{3}+(b - 2a - 3)x^{2}-(3a + 2b)x - 3b$
因为乘积中不含$x^{3}$与$x^{2}$的项，所以$x^{3}$与$x^{2}$的系数为$0$。
可得方程组$\begin{cases}a - 2 = 0,\\b - 2a - 3 = 0.\end{cases}$
由$a - 2 = 0$，解得$a = 2$。
把$a = 2$代入$b - 2a - 3 = 0$，得$b - 4 - 3 = 0$，解得$b = 7$。

4. 若$(x + m)(x + n) = x^{2} - 6x + 8$,则$m$,$n$的值分别为()
A.$m = 2$,$n = 4$,或$m = 4$,$n = 2$
B.$m = -2$,$n = -4$,或$m = -4$,$n = -2$
C.$m$,$n$异号
D.$m = 2$,$n = 4$,或$m = -4$,$n = -2$

B

首先，将左边的多项式展开：
$(x + m)(x + n) = x^2 + (m + n)x + mn$，
题目给出：
$x^2 + (m + n)x + mn = x^2 - 6x + 8$，
对比两边的系数，得到以下两个方程：
$m + n = -6$，
$mn = 8$，
解这个方程组，
由$m + n = -6$，可以得到$m = -6 - n$，
将这个表达式代入$mn = 8$，得到：
$(-6 - n)n = 8$，
$-6n - n^2 = 8$，
$n^2 + 6n + 8 = 0$，
$(n + 4)(n + 2) = 0$，
解得$n = -4$或$n = -2$，
当$n = -4$时，$m = -6 - (-4) = -2$，
当$n = -2$时，$m = -6 - (-2) = -4$，
所以，解得两组：$m = -2, n = -4$或$m = -4, n = -2$。

5. 计算：
(1)$(2x - 3)(x^{2} - x + 2)$；
(2)$5x(x^{2} + 2x + 1) - (2x + 3)(x - 5)$.

(1)
$\begin{aligned}&(2x - 3)(x^{2} - x + 2)\\=&2x× x^{2}-2x× x + 2x×2-3× x^{2}+3× x - 3×2\\=&2x^{3}-2x^{2}+4x - 3x^{2}+3x - 6\\=&2x^{3}+(-2x^{2}-3x^{2})+(4x + 3x)-6\\=&2x^{3}-5x^{2}+7x - 6\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&5x(x^{2} + 2x + 1)-(2x + 3)(x - 5)\\=&5x× x^{2}+5x×2x+5x×1-(2x× x-2x×5 + 3× x-3×5)\\=&5x^{3}+10x^{2}+5x-(2x^{2}-10x + 3x-15)\\=&5x^{3}+10x^{2}+5x - 2x^{2}+10x - 3x + 15\\=&5x^{3}+(10x^{2}-2x^{2})+(5x + 10x-3x)+15\\=&5x^{3}+8x^{2}+12x + 15\end{aligned}$