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1. 下列各式中,不能用平方差公式分解因式的是(
A.$ y^2 - 49x^2 $
B.$ -\frac{1}{49} - x^4 $
C.$ \frac{1}{4}(p + q)^2 - 9 $
D.$ -m^4 + n^2 $
B
)A.$ y^2 - 49x^2 $
B.$ -\frac{1}{49} - x^4 $
C.$ \frac{1}{4}(p + q)^2 - 9 $
D.$ -m^4 + n^2 $
答案
B
解析
平方差公式为$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，要求式子能写成两个数的平方差的形式。
选项A：$y^2 - 49x^2=y^2-(7x)^2=(y + 7x)(y - 7x)$，可以用平方差公式分解因式。
选项B：$-\frac{1}{49}-x^4=-(\frac{1}{49}+x^4)$，是两数平方和的形式，不能用平方差公式分解因式。
选项C：$\frac{1}{4}(p + q)^2 - 9=[\frac{1}{2}(p + q)]^2-3^2=(\frac{1}{2}(p + q)+3)(\frac{1}{2}(p + q)-3)$，可以用平方差公式分解因式。
选项D：$-m^4 + n^2=n^2 - m^4=(n + m^2)(n - m^2)$，可以用平方差公式分解因式。
选项A：$y^2 - 49x^2=y^2-(7x)^2=(y + 7x)(y - 7x)$，可以用平方差公式分解因式。
选项B：$-\frac{1}{49}-x^4=-(\frac{1}{49}+x^4)$，是两数平方和的形式，不能用平方差公式分解因式。
选项C：$\frac{1}{4}(p + q)^2 - 9=[\frac{1}{2}(p + q)]^2-3^2=(\frac{1}{2}(p + q)+3)(\frac{1}{2}(p + q)-3)$，可以用平方差公式分解因式。
选项D：$-m^4 + n^2=n^2 - m^4=(n + m^2)(n - m^2)$，可以用平方差公式分解因式。
2. 将多项式 $ 1 - 4x^2 $ 分解因式,正确的是(
A.$ (2x + 1)(2x - 1) $
B.$ (1 - 2x)(1 + 2x) $
C.$ (1 + 2x)(2x - 1) $
D.$ (1 + 4x)(1 - 4x) $
B
)A.$ (2x + 1)(2x - 1) $
B.$ (1 - 2x)(1 + 2x) $
C.$ (1 + 2x)(2x - 1) $
D.$ (1 + 4x)(1 - 4x) $
答案
B
解析
原式 $1 - 4x^2$ 可以看作 $1^2 - (2x)^2$，根据平方差公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，将 $a = 1$，$b = 2x$ 代入可得：
$1 - 4x^2 = (1 - 2x)(1 + 2x)$。
$1 - 4x^2 = (1 - 2x)(1 + 2x)$。
3. 若 $ k $ 为任意整数,则 $ (2k + 3)^2 - 4k^2 $ 的值总能(
A.被 $ 2 $ 整除
B.被 $ 3 $ 整除
C.被 $ 5 $ 整除
D.被 $ 7 $ 整除
B
)A.被 $ 2 $ 整除
B.被 $ 3 $ 整除
C.被 $ 5 $ 整除
D.被 $ 7 $ 整除
答案
B
解析
$(2k + 3)^2 - 4k^2 = (2k + 3 + 2k)(2k + 3 - 2k) = (4k + 3)×3 = 3(4k + 3)$，因为$k$为整数，所以$4k + 3$为整数，故原式总能被3整除。
4. 若多项式 $ 4a^2 + M $ 能用平方差公式分解因式,则单项式 $ M = $
$-1$
(写一个即可)。答案
$-1$（答案不唯一，如 $-4, -9$ 等均可）
解析
根据平方差公式，$4a^2 + M$ 能分解为 $(2a + b)(2a - b)$，其中 $b^2 = -M$。
为使 $M$ 为单项式且公式成立，可选择 $M = -b^2$（如 $b = 1$，则 $M = -1$）。
更一般地，$M$ 应为负的完全平方数（如 $-4, -9, \ldots$），或形式为 $-k^2$ 的单项式。
为使 $M$ 为单项式且公式成立，可选择 $M = -b^2$（如 $b = 1$，则 $M = -1$）。
更一般地，$M$ 应为负的完全平方数（如 $-4, -9, \ldots$），或形式为 $-k^2$ 的单项式。
5. (2024·甘肃临夏州中考)分解因式：$ x^2 - \frac{1}{4} = $
$\left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right)$
。答案
$\left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right)$。
解析
原式可以看作是 $x^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2$，根据平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，将 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 分别代入 $a$ 和 $b$，得到：
$x^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right)$。
$x^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right)$。
6. 若 $ a + b = 2 $,则 $ a^2 - b^2 + 4b $ 的值是
4
。答案
4
解析
已知 $a + b = 2$，
首先，将 $a^2 - b^2 + 4b$ 进行因式分解，
$a^2 - b^2$ 是平方差，可以分解为 $(a + b)(a - b)$，
所以，$a^2 - b^2 + 4b = (a + b)(a - b) + 4b$，
根据已知条件 $a + b = 2$，代入上式得：
$= 2(a - b) + 4b$
$= 2a - 2b + 4b$
$= 2a + 2b$
再次利用 $a + b = 2$，得：
$= 2(a + b)$
$= 2 × 2$
$= 4$
首先，将 $a^2 - b^2 + 4b$ 进行因式分解，
$a^2 - b^2$ 是平方差，可以分解为 $(a + b)(a - b)$，
所以，$a^2 - b^2 + 4b = (a + b)(a - b) + 4b$，
根据已知条件 $a + b = 2$，代入上式得：
$= 2(a - b) + 4b$
$= 2a - 2b + 4b$
$= 2a + 2b$
再次利用 $a + b = 2$，得：
$= 2(a + b)$
$= 2 × 2$
$= 4$
7. 利用因式分解简便运算：
(1) $ 1001^2 - 999^2 $；(2) $ 999^2 - 1 $。
(1) $ 1001^2 - 999^2 $；(2) $ 999^2 - 1 $。
答案
(1)
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对于$1001^2 - 999^2$，其中$a = 1001$，$b = 999$。
则$1001^2 - 999^2=(1001 + 999)(1001 - 999)$
$=(2000)×(2)$
$= 4000$
(2)
同样根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对于$999^2 - 1$，其中$a = 999$，$b = 1$。
则$999^2 - 1=(999 + 1)(999 - 1)$
$=(1000)×(998)$
$=998000$
答：(1)结果为$4000$；(2)结果为$998000$。
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对于$1001^2 - 999^2$，其中$a = 1001$，$b = 999$。
则$1001^2 - 999^2=(1001 + 999)(1001 - 999)$
$=(2000)×(2)$
$= 4000$
(2)
同样根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，对于$999^2 - 1$，其中$a = 999$，$b = 1$。
则$999^2 - 1=(999 + 1)(999 - 1)$
$=(1000)×(998)$
$=998000$
答：(1)结果为$4000$；(2)结果为$998000$。
8. 若 $ a $,$ b $,$ c $ 是 $ \triangle ABC $ 的三边长,则 $ a^2 - (b - c)^2 $ 的结果(
A.大于零
B.等于零
C.小于零
D.不确定
A
)A.大于零
B.等于零
C.小于零
D.不确定
答案
A
解析
根据平方差公式，将$a^{2}-(b - c)^{2}$进行因式分解，可得$a^{2}-(b - c)^{2}=(a + b - c)(a-(b - c))=(a + b - c)(a - b + c)$。
因为$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，所以$a + b - c\gt0$，$a - b + c=a + c - b\gt0$。
两个正数相乘结果大于$0$，即$a^{2}-(b - c)^{2}\gt0$。
因为$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，所以$a + b - c\gt0$，$a - b + c=a + c - b\gt0$。
两个正数相乘结果大于$0$，即$a^{2}-(b - c)^{2}\gt0$。
9. 利用平方差公式分解因式：
(1) $ -\frac{25}{9}x^2 + \frac{81}{4}y^2 $；
(2) $ (a + b)^2 - (a - 4b)^2 $。
(1) $ -\frac{25}{9}x^2 + \frac{81}{4}y^2 $；
(2) $ (a + b)^2 - (a - 4b)^2 $。
答案
(1)
解：原式$=\frac{81}{4}y^{2}-\frac{25}{9}x^{2}$
$=(\frac{9}{2}y)^{2}-(\frac{5}{3}x)^{2}$
$=(\frac{9}{2}y+\frac{5}{3}x)(\frac{9}{2}y - \frac{5}{3}x)$
(2)
解：原式$=[(a + b)+(a - 4b)][(a + b)-(a - 4b)]$
$=(a + b+a - 4b)(a + b - a + 4b)$
$=(2a - 3b)(5b)$
$=5b(2a - 3b)$
解：原式$=\frac{81}{4}y^{2}-\frac{25}{9}x^{2}$
$=(\frac{9}{2}y)^{2}-(\frac{5}{3}x)^{2}$
$=(\frac{9}{2}y+\frac{5}{3}x)(\frac{9}{2}y - \frac{5}{3}x)$
(2)
解：原式$=[(a + b)+(a - 4b)][(a + b)-(a - 4b)]$
$=(a + b+a - 4b)(a + b - a + 4b)$
$=(2a - 3b)(5b)$
$=5b(2a - 3b)$
10. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆. 原理：如对于多项式 $ x^4 - y^4 $,因式分解的结果是 $ (x - y)(x + y) \cdot (x^2 + y^2) $,若取 $ x = 9 $,$ y = 9 $,则各个因式的值是 $ (x - y) = 0 $,$ (x + y) = 18 $,$ (x^2 + y^2) = 162 $,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码. 对于多项式 $ 4x^3 - xy^2 $,取 $ x = 10 $,$ y = 10 $ 时,用上述方法产生的密码可以是
103010
。(填一个即可)答案
$103010$（答案不唯一）
解析
首先，对多项式 $4x^3 - xy^2$ 进行因式分解。
提取公因式 $x$，得到：
$4x^3 - xy^2 = x(4x^2 - y^2)$，
接着，利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，对 $4x^2 - y^2$ 进行分解，得到：
$4x^2 - y^2 = (2x + y)(2x - y)$，
因此，原式可以分解为：
$4x^3 - xy^2 = x(2x + y)(2x - y)$，
然后，代入 $x = 10$ 和 $y = 10$，计算各个因式的值：
$x = 10$，
$2x + y = 2 × 10 + 10 = 30$，
$2x - y = 2 × 10 - 10 = 10$，
按照题目中的方法，将这些值组合成一个密码，即 $103010$（答案不唯一，因为因式的顺序可以不同）。
提取公因式 $x$，得到：
$4x^3 - xy^2 = x(4x^2 - y^2)$，
接着，利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，对 $4x^2 - y^2$ 进行分解，得到：
$4x^2 - y^2 = (2x + y)(2x - y)$，
因此，原式可以分解为：
$4x^3 - xy^2 = x(2x + y)(2x - y)$，
然后，代入 $x = 10$ 和 $y = 10$，计算各个因式的值：
$x = 10$，
$2x + y = 2 × 10 + 10 = 30$，
$2x - y = 2 × 10 - 10 = 10$，
按照题目中的方法，将这些值组合成一个密码，即 $103010$（答案不唯一，因为因式的顺序可以不同）。
