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【典型例题 1】如图,点 A,D,C 在同一条直线上,AB//CE,AC= CE,∠ACB= ∠E. 求证 AB= CD.
答案
思路导引 如果能证明△ABC≌△CDE,就能得到 AB= CD. 由平行线的性质能得到∠A= ∠ECD,从而△ABC 与△CDE 具备“角边角”的条件.
【证明】∵AB//CE,
∴∠A= ∠ECD.
在△ABC 与△CDE 中,
$\left\{ \begin{array}{l} ∠A= ∠ECD, \\ AC= CE, \\ ∠ACB= ∠E, \end{array} \right. $
∴△ABC≌△CDE(ASA).
∴AB= CD.
1. 如图,AD,BE 是△ABC 的高线,AD 与 BE 相交于点 F. 若 AD= BD= 4,且△ACD 的面积为 6,则 AF 的长度为(
A.4
B.3
C.2
D.1
D
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案
D
解析
∵AD是△ABC的高线，∴∠ADC=90°，S△ACD=1/2×CD×AD=6，AD=4，∴1/2×CD×4=6，解得CD=3。
∵AD、BE是高线，∴∠BDF=∠ADC=90°，∠BEC=90°。
∵∠FBD+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，∴∠FBD=∠CAD。
在△BDF和△ADC中，∠BDF=∠ADC，BD=AD，∠FBD=∠CAD，∴△BDF≌△ADC（ASA）。
∴DF=CD=3，∴AF=AD-DF=4-3=1。
∵AD、BE是高线，∴∠BDF=∠ADC=90°，∠BEC=90°。
∵∠FBD+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，∴∠FBD=∠CAD。
在△BDF和△ADC中，∠BDF=∠ADC，BD=AD，∠FBD=∠CAD，∴△BDF≌△ADC（ASA）。
∴DF=CD=3，∴AF=AD-DF=4-3=1。
【典型例题 2】如图,在四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,AB= DC,∠1= ∠2. 求证 AC= BD.
答案
思路导引 先利用“AAS”证明△AOB 与△DOC 全等,得到 OA= OD,OB= OC,利用线段和差关系即得 AC= BD.
【证明】在△AOB 和△DOC 中,
$\left\{ \begin{array}{l} ∠1= ∠2, \\ ∠AOB= ∠DOC, \\ AB= DC, \end{array} \right. $
∴△AOB≌△DOC(AAS),
∴OA= OD,OB= OC,
∴OA+OC= OD+OB,
即 AC= BD.
