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学习任务 代数式的值
从旧知到新知
代数式的值:一般地,用数值代替代数式中的
从旧知到新知
代数式的值:一般地,用数值代替代数式中的
字母
,按照代数式中的运算关系
计算得出的结果,叫作代数式的值.当字母取不同的数值时,代数式的值一般也不同.答案
用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。
解析
【分析】
本题考查代数式的值的基本定义，解题时可直接回忆相关概念的核心要素：代数式中含有代表未知量的字母，要得到具体的数值结果，首先要用具体数值替换式子中的字母，替换后必须遵循原式规定的运算规则和运算顺序计算，最终得到的结果就是代数式的值，据此即可填出两个空缺内容。
【解析】
根据代数式的值的标准定义：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。因此第一个横线处填“字母”，第二个横线处填“运算关系”。
【答案】
字母；运算关系
【知识点】
代数式的值的定义
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对代数式的值核心定义的掌握情况，熟练掌握该概念是后续开展代数式代入求值运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查代数式的值的基本定义，解题时可直接回忆相关概念的核心要素：代数式中含有代表未知量的字母，要得到具体的数值结果，首先要用具体数值替换式子中的字母，替换后必须遵循原式规定的运算规则和运算顺序计算，最终得到的结果就是代数式的值，据此即可填出两个空缺内容。
【解析】
根据代数式的值的标准定义：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。因此第一个横线处填“字母”，第二个横线处填“运算关系”。
【答案】
字母；运算关系
【知识点】
代数式的值的定义
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对代数式的值核心定义的掌握情况，熟练掌握该概念是后续开展代数式代入求值运算的重要基础。
【难度系数】
0.9
【例1】当$x$，$y$取下列值时，分别求代数式$3x^2 + 3xy - 9$的值.
(1)$x=2$，$y=-3$； (2)$x=-\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{2}$.
解:
(1)$x=2$，$y=-3$； (2)$x=-\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{2}$.
解:
答案
(1) $-15$. (2) $-9$.
解析
【分析】
这道题考查代数式求值，解题思路是分别将两小问中x、y的取值代入给定的代数式，再按照有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减）逐步计算，计算过程中要重点注意符号的处理，避免出错。
【解析】
(1) 当$x=2$，$y=-3$时：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3×2^2 + 3×2×(-3) -9\\&=3×4 -18 -9\\&=12 -18 -9\\&=-15\end{aligned}$
(2) 当$x=-\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{2}$时：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3×(-\frac{1}{2})^2 + 3×(-\frac{1}{2})×\frac{1}{2} -9\\&=3×\frac{1}{4} - \frac{3}{4} -9\\&=\frac{3}{4} - \frac{3}{4} -9\\&=-9\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-15}$；(2) $\boldsymbol{-9}$
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心是准确代入对应数值，严格按照有理数运算顺序计算，代入负数或分数进行乘方运算时注意加括号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查代数式求值，解题思路是分别将两小问中x、y的取值代入给定的代数式，再按照有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减）逐步计算，计算过程中要重点注意符号的处理，避免出错。
【解析】
(1) 当$x=2$，$y=-3$时：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3×2^2 + 3×2×(-3) -9\\&=3×4 -18 -9\\&=12 -18 -9\\&=-15\end{aligned}$
(2) 当$x=-\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{2}$时：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3×(-\frac{1}{2})^2 + 3×(-\frac{1}{2})×\frac{1}{2} -9\\&=3×\frac{1}{4} - \frac{3}{4} -9\\&=\frac{3}{4} - \frac{3}{4} -9\\&=-9\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-15}$；(2) $\boldsymbol{-9}$
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心是准确代入对应数值，严格按照有理数运算顺序计算，代入负数或分数进行乘方运算时注意加括号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
1.当$a=4,b=-3$时,分别求下列代数式的值.
(1)$(a-b)^2$； (2)$a^2 - 2ab + b^2$.
(1)$(a-b)^2$； (2)$a^2 - 2ab + b^2$.
答案
(1) $49$. (2) $49$.
解析
【分析】
本题考查代数式求值，解题核心遵循“先代入、后计算”的步骤：①代入数值时，遇到负数要注意添加括号，避免符号错误；②计算时按照有理数的运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的。第(1)问先计算括号内a与b的差，再对差求平方；第(2)问分别计算每一项的值，再合并得到结果。
【解析】
(1) 当$a=4$，$b=-3$时：
先计算括号内的部分：$a - b = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$
再计算平方：$(a - b)^2 = 7^2 = 49$
(2) 当$a=4$，$b=-3$时：
分别计算各项的值：
$a^2 = 4^2 = 16$
$-2ab = -2×4×(-3) = 24$
$b^2 = (-3)^2 = 9$
合并计算：$a^2 - 2ab + b^2 = 16 + 24 + 9 = 49$
【答案】
(1) $\boxed{49}$；(2) $\boxed{49}$
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算；乘方运算
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，重点考查数值代入的规范和有理数运算的准确性，代入负数时要格外注意符号变化，通过本题的计算可以直观感受到两个代数式的相等关系，为后续学习完全平方公式积累认知经验。
【难度系数】
0.9
本题考查代数式求值，解题核心遵循“先代入、后计算”的步骤：①代入数值时，遇到负数要注意添加括号，避免符号错误；②计算时按照有理数的运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的。第(1)问先计算括号内a与b的差，再对差求平方；第(2)问分别计算每一项的值，再合并得到结果。
【解析】
(1) 当$a=4$，$b=-3$时：
先计算括号内的部分：$a - b = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$
再计算平方：$(a - b)^2 = 7^2 = 49$
(2) 当$a=4$，$b=-3$时：
分别计算各项的值：
$a^2 = 4^2 = 16$
$-2ab = -2×4×(-3) = 24$
$b^2 = (-3)^2 = 9$
合并计算：$a^2 - 2ab + b^2 = 16 + 24 + 9 = 49$
【答案】
(1) $\boxed{49}$；(2) $\boxed{49}$
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算；乘方运算
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，重点考查数值代入的规范和有理数运算的准确性，代入负数时要格外注意符号变化，通过本题的计算可以直观感受到两个代数式的相等关系，为后续学习完全平方公式积累认知经验。
【难度系数】
0.9
【例2】“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表.如图,一枚圆形方孔钱的外半径为$r$,中间方孔边长为$a$.
(1)用含$r,a$的式子表示阴影部分的面积;
(2)当$r=3\ \mathrm{cm},a=1\ \mathrm{cm}$时,求阴影部分的面积.$(π$取$3.14)$
解:
(1)用含$r,a$的式子表示阴影部分的面积;
(2)当$r=3\ \mathrm{cm},a=1\ \mathrm{cm}$时,求阴影部分的面积.$(π$取$3.14)$
解:
答案
(1) 根据题意得阴影部分的面积为$π r^2 - a^2$.
(2) $27.26\ \mathrm{cm}^2$.
(2) $27.26\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
（1）要求阴影部分的面积，首先观察图形可知，阴影部分是外圆挖去中间正方形方孔的部分，因此阴影面积等于外圆面积减去中间正方形的面积，分别代入圆和正方形的面积公式作差即可得到对应的代数式；（2）第二问属于代数式求值问题，只需将给定的r、a的数值以及π的取值代入第一问得到的代数式，按照先乘方、再乘法、最后减法的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知外圆的半径为$r$，根据圆的面积公式，外圆的面积为$π r^2$；中间方孔是边长为$a$的正方形，根据正方形的面积公式，方孔的面积为$a^2$。
因此阴影部分的面积 = 外圆面积 - 方孔面积，即$π r^2 - a^2$。
(2) 把$r=3\ \mathrm{cm}$，$a=1\ \mathrm{cm}$，$π=3.14$代入$π r^2 - a^2$计算：
$\begin{aligned}π r^2 - a^2&=3.14× 3^2 - 1^2\\&=3.14×9 -1\\&=28.26 -1\\&=27.26(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) $π r^2 - a^2$
(2) $27.26\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式；代数式求值；组合图形面积计算
【点评】
本题结合古钱币的实际场景出题，考查了组合图形面积的计算方法和代数式的列式、求值能力，解题的核心是明确阴影面积为整体面积减去空白部分面积，代入计算时注意遵循有理数的运算顺序即可。
【难度系数】
0.9
（1）要求阴影部分的面积，首先观察图形可知，阴影部分是外圆挖去中间正方形方孔的部分，因此阴影面积等于外圆面积减去中间正方形的面积，分别代入圆和正方形的面积公式作差即可得到对应的代数式；（2）第二问属于代数式求值问题，只需将给定的r、a的数值以及π的取值代入第一问得到的代数式，按照先乘方、再乘法、最后减法的运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知外圆的半径为$r$，根据圆的面积公式，外圆的面积为$π r^2$；中间方孔是边长为$a$的正方形，根据正方形的面积公式，方孔的面积为$a^2$。
因此阴影部分的面积 = 外圆面积 - 方孔面积，即$π r^2 - a^2$。
(2) 把$r=3\ \mathrm{cm}$，$a=1\ \mathrm{cm}$，$π=3.14$代入$π r^2 - a^2$计算：
$\begin{aligned}π r^2 - a^2&=3.14× 3^2 - 1^2\\&=3.14×9 -1\\&=28.26 -1\\&=27.26(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) $π r^2 - a^2$
(2) $27.26\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式；代数式求值；组合图形面积计算
【点评】
本题结合古钱币的实际场景出题，考查了组合图形面积的计算方法和代数式的列式、求值能力，解题的核心是明确阴影面积为整体面积减去空白部分面积，代入计算时注意遵循有理数的运算顺序即可。
【难度系数】
0.9
