登录
12. 下列说法中，正确的是 （
A.0除以任何数都等于0
B.1除以一个数就等于乘这个数的倒数
C.一个不等于0的有理数除以它的相反数等于－1
D.两数相除，商一定小于被除数
C
）A.0除以任何数都等于0
B.1除以一个数就等于乘这个数的倒数
C.一个不等于0的有理数除以它的相反数等于－1
D.两数相除，商一定小于被除数
答案
12.C
解析
【分析】
本题考查有理数除法的相关概念辨析，解题时需紧扣有理数除法的注意事项（除数不能为0），逐个分析选项，结合反例排除错误选项，最终确定正确答案。首先回忆有理数除法法则、倒数、相反数的相关定义，对每个选项逐一验证：首先判断选项是否忽略“除数不为0”的前提，再通过举反例验证表述是否成立。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 0除以任何不为0的数才等于0，0不能作为除数，因此该表述错误；
B. 1除以一个不为0的数才等于乘这个数的倒数，0没有倒数且不能作除数，因此该表述错误；
C. 设这个不等于0的有理数为$a$，则它的相反数为$-a$，$a÷(-a)=-1$（$a≠0$），该表述正确；
D. 举反例：$(-2)÷(-1)=2$，商2大于被除数-2，因此“商一定小于被除数”的表述错误。
综上，只有C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
有理数除法法则，相反数的定义，倒数的定义
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，解题的关键是注意有理数除法中“除数不能为0”的隐含前提，遇到表述绝对的选项可通过举反例快速判断正误。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数除法的相关概念辨析，解题时需紧扣有理数除法的注意事项（除数不能为0），逐个分析选项，结合反例排除错误选项，最终确定正确答案。首先回忆有理数除法法则、倒数、相反数的相关定义，对每个选项逐一验证：首先判断选项是否忽略“除数不为0”的前提，再通过举反例验证表述是否成立。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 0除以任何不为0的数才等于0，0不能作为除数，因此该表述错误；
B. 1除以一个不为0的数才等于乘这个数的倒数，0没有倒数且不能作除数，因此该表述错误；
C. 设这个不等于0的有理数为$a$，则它的相反数为$-a$，$a÷(-a)=-1$（$a≠0$），该表述正确；
D. 举反例：$(-2)÷(-1)=2$，商2大于被除数-2，因此“商一定小于被除数”的表述错误。
综上，只有C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
有理数除法法则，相反数的定义，倒数的定义
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，解题的关键是注意有理数除法中“除数不能为0”的隐含前提，遇到表述绝对的选项可通过举反例快速判断正误。
【难度系数】
0.8
13.某同学在计算－16÷a时，误将“÷”看成“＋”后得到的结果是－12，则－16÷a的正确结果是
－4
。答案
13.－4
解析
【分析】
解题时首先要根据“误将÷看成+得到结果-12”这一条件，先求出未知量a的值：错误的运算式为-16+a=-12，通过有理数的加减运算解出a后，再将a代入正确的算式-16÷a，按照有理数除法法则计算即可得到正确结果。
【解析】
第一步：根据错误运算列等式求a的值
由题意可知，看错运算符号后的算式为：$\boldsymbol{-16 + a = -12}$
移项得：$a = -12 - (-16)$
计算得：$a = -12 + 16 = 4$
第二步：代入a计算正确结果
将$a=4$代入$-16÷ a$得：
$-16÷4 = -4$
【答案】
-4
【知识点】
有理数的加减运算、有理数的除法运算、代数式求值
【点评】
本题属于错中求解类基础题型，解题核心是先通过错误的运算关系求出未知参数的取值，再代入原式计算正确结果，重点考查有理数运算法则的熟练应用。
【难度系数】
0.8
解题时首先要根据“误将÷看成+得到结果-12”这一条件，先求出未知量a的值：错误的运算式为-16+a=-12，通过有理数的加减运算解出a后，再将a代入正确的算式-16÷a，按照有理数除法法则计算即可得到正确结果。
【解析】
第一步：根据错误运算列等式求a的值
由题意可知，看错运算符号后的算式为：$\boldsymbol{-16 + a = -12}$
移项得：$a = -12 - (-16)$
计算得：$a = -12 + 16 = 4$
第二步：代入a计算正确结果
将$a=4$代入$-16÷ a$得：
$-16÷4 = -4$
【答案】
-4
【知识点】
有理数的加减运算、有理数的除法运算、代数式求值
【点评】
本题属于错中求解类基础题型，解题核心是先通过错误的运算关系求出未知参数的取值，再代入原式计算正确结果，重点考查有理数运算法则的熟练应用。
【难度系数】
0.8
14. 新考向·跨学科融合“五月天山雪，无花只有寒.”反映出地形对气温的影响.海拔每上升100 m，气温约下降0.6 ℃.有一座海拔为2 350 m的山，在这座山上海拔350 m处测得气温是6 ℃，则此时山顶的气温约为
$-6 ℃$
.答案
14.$-6 ℃$
解析
【分析】
解题时首先明确气温随海拔的变化规律：海拔每上升100m，气温下降0.6℃。解题分三步思考：第一步先计算山顶和测温点的海拔高度差；第二步结合每100m的降温幅度，算出升高对应海拔后总共下降的气温；第三步用测温点的气温减去总下降气温，即可得到山顶的气温，计算时注意有理数减法的运算规则。
【解析】
1. 计算山顶与测温点的海拔差：
$2350 - 350 = 2000 \ \mathrm{m}$
2. 计算海拔升高2000m的总降温幅度：
$2000 ÷ 100 × 0.6 = 12 \ \mathrm{℃}$
3. 计算山顶气温：
$6 - 12 = -6 \ \mathrm{℃}$
【答案】
$-6 ℃$
【知识点】
1. 有理数混合运算 2. 正负数实际应用
【点评】
本题结合地理常识考查有理数运算在生活场景中的应用，解题核心是准确梳理海拔差与温度变化的对应关系，计算难度较低，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确气温随海拔的变化规律：海拔每上升100m，气温下降0.6℃。解题分三步思考：第一步先计算山顶和测温点的海拔高度差；第二步结合每100m的降温幅度，算出升高对应海拔后总共下降的气温；第三步用测温点的气温减去总下降气温，即可得到山顶的气温，计算时注意有理数减法的运算规则。
【解析】
1. 计算山顶与测温点的海拔差：
$2350 - 350 = 2000 \ \mathrm{m}$
2. 计算海拔升高2000m的总降温幅度：
$2000 ÷ 100 × 0.6 = 12 \ \mathrm{℃}$
3. 计算山顶气温：
$6 - 12 = -6 \ \mathrm{℃}$
【答案】
$-6 ℃$
【知识点】
1. 有理数混合运算 2. 正负数实际应用
【点评】
本题结合地理常识考查有理数运算在生活场景中的应用，解题核心是准确梳理海拔差与温度变化的对应关系，计算难度较低，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
15. 计算:
(1) $5÷[\dfrac{5}{4}÷(-\dfrac{3}{10})]$.
(2) $(-\dfrac{15}{7})÷(-1.2)÷(-\dfrac{5}{7})$.
(3) $(-81)÷ 2\dfrac{1}{4}×\dfrac{4}{9}÷(-16)$.
(1) $5÷[\dfrac{5}{4}÷(-\dfrac{3}{10})]$.
(2) $(-\dfrac{15}{7})÷(-1.2)÷(-\dfrac{5}{7})$.
(3) $(-81)÷ 2\dfrac{1}{4}×\dfrac{4}{9}÷(-16)$.
答案
15.解:(1)原式$=5÷[\frac{5}{4}×(-\frac{10}{3})]=5÷(-\frac{25}{6})=5×(-\frac{6}{25})=-\frac{6}{5}.$ (2)原式$=-\frac{15}{7}÷(-\frac{6}{5})÷(-\frac{5}{7})=-\frac{15}{7}×(-\frac{5}{6})×(-\frac{7}{5})=-\frac{5}{2}.$ (3)原式$=81×\frac{4}{9}×\frac{4}{9}×\frac{1}{16}=1.$
解析
【分析】
有理数乘除混合运算解题遵循以下思路：1. 明确运算顺序：有括号先算括号内的，无括号时从左到右依次计算；2. 统一运算形式：将所有除法转化为乘法（除以一个不为0的数等于乘它的倒数），遇小数、带分数先化为分数形式，方便后续约分；3. 先定结果符号：根据负因数的个数判断结果符号（奇数个负因数结果为负，偶数个负因数结果为正），再计算绝对值的乘积。
针对本题三小题：(1)有中括号，先算括号内的除法，再算括号外的运算；(2)先将小数1.2化为分数，再逐一把除法转乘法计算；(3)先把带分数$2\dfrac{1}{4}$化为假分数，再统一为乘法运算，先定符号再约分计算。
【解析】
(1) 先计算中括号内的运算，将除法转为乘法：
原式$=5÷[\dfrac{5}{4}×(-\dfrac{10}{3})]$
计算括号内的乘积得$-\dfrac{25}{6}$，因此：
原式$=5÷(-\dfrac{25}{6})$
再将除法转为乘法计算：$5×(-\dfrac{6}{25})=-\dfrac{6}{5}$。
(2) 先把小数$1.2$化为分数$\dfrac{6}{5}$，再逐一将除法转为乘法：
原式$=-\dfrac{15}{7}÷(-\dfrac{6}{5})÷(-\dfrac{5}{7})$
$=-\dfrac{15}{7}×(-\dfrac{5}{6})×(-\dfrac{7}{5})$
共有3个负因数，结果为负，约分计算数值后得最终结果为$-\dfrac{5}{2}$。
(3) 先把带分数$2\dfrac{1}{4}$化为假分数$\dfrac{9}{4}$，再将所有除法转为乘法：
原式$=(-81)÷\dfrac{9}{4}×\dfrac{4}{9}÷(-16)$
$=(-81)×\dfrac{4}{9}×\dfrac{4}{9}×(-\dfrac{1}{16})$
共有2个负因数，结果为正，约分计算数值后得最终结果为$1$。
【答案】
(1)$-\dfrac{6}{5}$；(2)$-\dfrac{5}{2}$；(3)$1$
【知识点】
有理数除法法则；有理数乘除混合运算；符号运算规则
【点评】
本题是有理数乘除混合运算的常规题型，核心考查除法转乘法的变形规则、运算顺序和符号判断能力，计算时先统一运算形式、先定符号再算数值，能有效避免运算错误。
【难度系数】
0.8
有理数乘除混合运算解题遵循以下思路：1. 明确运算顺序：有括号先算括号内的，无括号时从左到右依次计算；2. 统一运算形式：将所有除法转化为乘法（除以一个不为0的数等于乘它的倒数），遇小数、带分数先化为分数形式，方便后续约分；3. 先定结果符号：根据负因数的个数判断结果符号（奇数个负因数结果为负，偶数个负因数结果为正），再计算绝对值的乘积。
针对本题三小题：(1)有中括号，先算括号内的除法，再算括号外的运算；(2)先将小数1.2化为分数，再逐一把除法转乘法计算；(3)先把带分数$2\dfrac{1}{4}$化为假分数，再统一为乘法运算，先定符号再约分计算。
【解析】
(1) 先计算中括号内的运算，将除法转为乘法：
原式$=5÷[\dfrac{5}{4}×(-\dfrac{10}{3})]$
计算括号内的乘积得$-\dfrac{25}{6}$，因此：
原式$=5÷(-\dfrac{25}{6})$
再将除法转为乘法计算：$5×(-\dfrac{6}{25})=-\dfrac{6}{5}$。
(2) 先把小数$1.2$化为分数$\dfrac{6}{5}$，再逐一将除法转为乘法：
原式$=-\dfrac{15}{7}÷(-\dfrac{6}{5})÷(-\dfrac{5}{7})$
$=-\dfrac{15}{7}×(-\dfrac{5}{6})×(-\dfrac{7}{5})$
共有3个负因数，结果为负，约分计算数值后得最终结果为$-\dfrac{5}{2}$。
(3) 先把带分数$2\dfrac{1}{4}$化为假分数$\dfrac{9}{4}$，再将所有除法转为乘法：
原式$=(-81)÷\dfrac{9}{4}×\dfrac{4}{9}÷(-16)$
$=(-81)×\dfrac{4}{9}×\dfrac{4}{9}×(-\dfrac{1}{16})$
共有2个负因数，结果为正，约分计算数值后得最终结果为$1$。
【答案】
(1)$-\dfrac{6}{5}$；(2)$-\dfrac{5}{2}$；(3)$1$
【知识点】
有理数除法法则；有理数乘除混合运算；符号运算规则
【点评】
本题是有理数乘除混合运算的常规题型，核心考查除法转乘法的变形规则、运算顺序和符号判断能力，计算时先统一运算形式、先定符号再算数值，能有效避免运算错误。
【难度系数】
0.8
16. 芳芳同学计算 $6÷(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3})$ 的过程如下：
解:原式$=6÷(-\frac{1}{2})+6÷\frac{1}{3}$
$=-12+18$
$=6.$
请判断芳芳的计算过程是否正确,若不正确,请写出正确的计算过程.
解:原式$=6÷(-\frac{1}{2})+6÷\frac{1}{3}$
$=-12+18$
$=6.$
请判断芳芳的计算过程是否正确,若不正确,请写出正确的计算过程.
答案
16.解:芳芳的计算过程不正确,正确的计算过程如下:原式$=6÷(-\frac{3}{6}+\frac{2}{6})=6÷(-\frac{1}{6})=-36.$
解析
【分析】
芳芳的计算错误，原因是她误用了乘法分配律，除法不存在分配律，不能将被除数分别除以后面括号内的两个加数。正确解题思路为：遵循有理数混合运算顺序，先计算括号内的异分母分数加法，通分求出括号内的结果后，再按照有理数除法法则（除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数）计算括号外的除法即可。
【解析】
解：芳芳的计算过程不正确，正确的计算过程如下：
先计算括号内的加法：
$-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=-\frac{1}{6}$
再计算括号外的除法：
原式$=6÷(-\frac{1}{6})=6×(-6)=-36$
【答案】
芳芳的计算过程不正确，正确的计算过程如下：$6÷(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3})=6÷(-\frac{3}{6}+\frac{2}{6})=6÷(-\frac{1}{6})=-36$
【知识点】
1. 有理数除法法则
2. 异分母分数加减运算
3. 有理数混合运算顺序
【点评】
本题属于有理数运算的典型易错题，重点考查运算律的适用范围和混合运算的运算顺序，要注意仅乘法适用分配律，除法不能直接拆分运算，遇到带括号的运算要优先计算括号内的部分。
【难度系数】
0.7
芳芳的计算错误，原因是她误用了乘法分配律，除法不存在分配律，不能将被除数分别除以后面括号内的两个加数。正确解题思路为：遵循有理数混合运算顺序，先计算括号内的异分母分数加法，通分求出括号内的结果后，再按照有理数除法法则（除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数）计算括号外的除法即可。
【解析】
解：芳芳的计算过程不正确，正确的计算过程如下：
先计算括号内的加法：
$-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=-\frac{1}{6}$
再计算括号外的除法：
原式$=6÷(-\frac{1}{6})=6×(-6)=-36$
【答案】
芳芳的计算过程不正确，正确的计算过程如下：$6÷(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3})=6÷(-\frac{3}{6}+\frac{2}{6})=6÷(-\frac{1}{6})=-36$
【知识点】
1. 有理数除法法则
2. 异分母分数加减运算
3. 有理数混合运算顺序
【点评】
本题属于有理数运算的典型易错题，重点考查运算律的适用范围和混合运算的运算顺序，要注意仅乘法适用分配律，除法不能直接拆分运算，遇到带括号的运算要优先计算括号内的部分。
【难度系数】
0.7
17. 如果对有理数 $a,b(a≠0,b≠0)$ 定义运算“△”如下：$a△b = \frac{1}{a} ÷ (-\frac{b}{2})$，如 $2△3 = \frac{1}{2} ÷ (-\frac{3}{2}) = -\frac{1}{3}$，求 $(-2△7)△4$ 的值。
答案
17.解:原式$=[(-\frac{1}{2})÷(-\frac{7}{2})]△4=\frac{1}{7}△4=\frac{1}{\frac{1}{7}}÷(-\frac{4}{2})=-7÷2=-\frac{7}{2}.$
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题首先要明确新运算“△”的规则：$a△b = \frac{1}{a} ÷ (-\frac{b}{2})$。对于有两层新运算的式子，要按运算顺序先算括号内的部分：先把$a=-2、b=7$代入规则算出$-2△7$的结果，再把该结果作为新的$a$、$4$作为$b$，再次代入新运算规则计算即可，计算过程中要注意有理数除法的符号法则，除以一个数等于乘这个数的倒数，避免符号出错。
【解析】
根据新运算规则分步计算：
第一步，先计算括号内的$-2△7$：
此时$a=-2$，$b=7$，代入得：
$-2△7 = \frac{1}{-2} ÷ (-\frac{7}{2}) = (-\frac{1}{2}) × (-\frac{2}{7}) = \frac{1}{7}$
第二步，计算$\frac{1}{7}△4$：
此时$a=\frac{1}{7}$，$b=4$，代入得：
$\frac{1}{7}△4 = \frac{1}{\frac{1}{7}} ÷ (-\frac{4}{2}) = 7 ÷ (-2) = -\frac{7}{2}$
【答案】
$-\frac{7}{2}$
【知识点】
新定义运算、有理数除法、有理数混合运算
【点评】
本题主要考查对新运算规则的理解应用能力和有理数除法的运算能力，解题关键是严格按照新定义的运算规则，按先内后外的顺序分步计算，重点注意运算过程中的符号处理。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义运算类题目，解题首先要明确新运算“△”的规则：$a△b = \frac{1}{a} ÷ (-\frac{b}{2})$。对于有两层新运算的式子，要按运算顺序先算括号内的部分：先把$a=-2、b=7$代入规则算出$-2△7$的结果，再把该结果作为新的$a$、$4$作为$b$，再次代入新运算规则计算即可，计算过程中要注意有理数除法的符号法则，除以一个数等于乘这个数的倒数，避免符号出错。
【解析】
根据新运算规则分步计算：
第一步，先计算括号内的$-2△7$：
此时$a=-2$，$b=7$，代入得：
$-2△7 = \frac{1}{-2} ÷ (-\frac{7}{2}) = (-\frac{1}{2}) × (-\frac{2}{7}) = \frac{1}{7}$
第二步，计算$\frac{1}{7}△4$：
此时$a=\frac{1}{7}$，$b=4$，代入得：
$\frac{1}{7}△4 = \frac{1}{\frac{1}{7}} ÷ (-\frac{4}{2}) = 7 ÷ (-2) = -\frac{7}{2}$
【答案】
$-\frac{7}{2}$
【知识点】
新定义运算、有理数除法、有理数混合运算
【点评】
本题主要考查对新运算规则的理解应用能力和有理数除法的运算能力，解题关键是严格按照新定义的运算规则，按先内后外的顺序分步计算，重点注意运算过程中的符号处理。
【难度系数】
0.7
18. NEW 新考向·推理能力 小丽有5张写着不同数的卡片,请你按要求抽出卡片,并回答下列问题:
−3 −5
+3 +$\frac{1}{4}$
(1)从中取出3张卡片,如何抽取才能使这3张卡片上的数先两个相乘,再除以第3个的结果最大?最大值是多少?
(2)从中取出3张卡片,如何抽取才能使这3张卡片上的数先两个相除,再乘第3个的结果最小?最小值是多少?
−3 −5
+3 +$\frac{1}{4}$(1)从中取出3张卡片,如何抽取才能使这3张卡片上的数先两个相乘,再除以第3个的结果最大?最大值是多少?
(2)从中取出3张卡片,如何抽取才能使这3张卡片上的数先两个相除,再乘第3个的结果最小?最小值是多少?
答案
18.解:(1)抽取$-3,-5,+\frac{1}{4}$,最大值为$(-3)×(-5)÷(+\frac{1}{4})=60.$ (2)抽取$-5,+\frac{1}{4},+3$,最小值为$(-5)÷(+\frac{1}{4})×(+3)=-60[$或$(+3)÷(+\frac{1}{4})×(-5)=-60].$
解析
【分析】
(1)要使“两数相乘再除以第三个数”的结果最大，根据有理数乘除的符号规律，结果为正数时数值更大，因此首先要保证运算结果为正，同时让结果的绝对值尽可能大：两个负数相乘可得到绝对值较大的正数，再除以一个绝对值最小的正数，就能得到最大的结果。
(2)要使“两数相除再乘第三个数”的结果最小，结果需为负数，且绝对值尽可能大：选择绝对值大的负数除以绝对值小的正数，可得到绝对值很大的负数，再乘正数，就能得到绝对值最大的负数，也就是最小值。
【解析】
(1)抽取写有$-3$、$-5$、$+\frac{1}{4}$的3张卡片，计算过程：
$(-3)×(-5)÷(+\frac{1}{4})=15÷\frac{1}{4}=15×4=60$
(2)抽取写有$-5$、$+\frac{1}{4}$、$+3$的3张卡片，计算过程：
$(-5)÷(+\frac{1}{4})×(+3)=(-5)×4×3=-60$，也可列式为$(+3)÷(+\frac{1}{4})×(-5)=12×(-5)=-60$。
【答案】
(1)抽取$-3,-5,+\frac{1}{4}$，最大值是$60$；
(2)抽取$-5,+\frac{1}{4},+3$，最小值是$-60$。
【知识点】
有理数乘除混合运算；有理数大小比较
【点评】
本题需要结合有理数乘除的符号法则和绝对值的性质选择合适的数字运算，侧重考查对有理数运算法则的灵活运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要使“两数相乘再除以第三个数”的结果最大，根据有理数乘除的符号规律，结果为正数时数值更大，因此首先要保证运算结果为正，同时让结果的绝对值尽可能大：两个负数相乘可得到绝对值较大的正数，再除以一个绝对值最小的正数，就能得到最大的结果。
(2)要使“两数相除再乘第三个数”的结果最小，结果需为负数，且绝对值尽可能大：选择绝对值大的负数除以绝对值小的正数，可得到绝对值很大的负数，再乘正数，就能得到绝对值最大的负数，也就是最小值。
【解析】
(1)抽取写有$-3$、$-5$、$+\frac{1}{4}$的3张卡片，计算过程：
$(-3)×(-5)÷(+\frac{1}{4})=15÷\frac{1}{4}=15×4=60$
(2)抽取写有$-5$、$+\frac{1}{4}$、$+3$的3张卡片，计算过程：
$(-5)÷(+\frac{1}{4})×(+3)=(-5)×4×3=-60$，也可列式为$(+3)÷(+\frac{1}{4})×(-5)=12×(-5)=-60$。
【答案】
(1)抽取$-3,-5,+\frac{1}{4}$，最大值是$60$；
(2)抽取$-5,+\frac{1}{4},+3$，最小值是$-60$。
【知识点】
有理数乘除混合运算；有理数大小比较
【点评】
本题需要结合有理数乘除的符号法则和绝对值的性质选择合适的数字运算，侧重考查对有理数运算法则的灵活运用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
