知识梳理
知识点1）因式分解的概念
1. 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的。
2. 多项式中各项都含有的相同因式，称为。
易混提示
1. 首项为负：如果多项式的首项系数为负，通常先提取“-”号，使括号内的首项变为“+”。例如：$-2x^2 +4x = -2x(x-2)$。
2. 彻底分解：提取公因式后，检查另一个因式是否能继续分解。
3. 避免漏项：提取公因式后，注意括号内的项数与原多项式一致。
知识点2）整式乘法与因式分解的关系
$x^2 -1 \underset{\mathrm{整式乘法}}{\overset{\mathrm{因式分解}}{\rightleftarrows}} (x+1)(x-1)$

1. 因式分解
2. 公因式

【分析】
本题考查因式分解相关的基础定义，解题时直接回忆课本对应概念即可：
1. 第一空对应因式分解的定义，题干已经完整给出了因式分解的特征表述，直接匹配概念填空；
2. 第二空对应公因式的定义，题干给出的“多项式各项都含有的相同因式”正是公因式的核心特征，直接对应概念填空即可。
【解析】
1. 根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，因此第一空填因式分解。
2. 根据公因式的定义：多项式中各项都含有的相同因式，称为公因式，因此第二空填公因式。
【答案】
1. 因式分解
2. 公因式
【知识点】
因式分解的概念；公因式的概念
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查核心概念的记忆，掌握相关基础定义即可快速得分，是后续学习因式分解方法的重要基础。
【难度系数】
0.9

例 若分解因式$x^2 + 3x = x(x + k)$，则k的值为。
分析:本题主要考查因式分解与整式乘法，由$x(x + k)=x^2 + kx$可得结论。
答案:3
方法点拨 用提公因式法进行因式分解。

3

【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系解题，有两种思考方向：一是对等式左侧的多项式用提公因式法分解因式，将分解结果与右侧式子对比即可求出k的值；二是将等式右侧的整式乘法展开，根据等式两边多项式对应项系数相等求出k的值。
【解析】
方法一：对等式左边分解因式
$x^2 + 3x = x· x + 3· x = x(x+3)$
已知$x^2 + 3x = x(x + k)$
因此$x(x+3) = x(x + k)$
对比两个因式的常数项，可得$k=3$。
方法二：将等式右侧的整式展开
$x(x + k) = x^2 + kx$
已知$x^2 + 3x = x(x + k)$
因此$x^2 + 3x = x^2 + kx$
等式两边一次项系数对应相等，可得$k=3$。
【答案】
3
【知识点】
提公因式法分解因式；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查因式分解与整式乘法的互逆关系，熟练掌握提公因式法的操作规则和整式乘法的计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9

某芯片功耗模型为$P(t)=100-25t^2$（$t$为运行时间，单位：h）. 求第4 h与第2 h的功耗差值.

300

【分析】
要计算第4h与第2h的功耗差值，首先明确解题思路：首先分别将t=2和t=4代入给出的功耗公式，求出两个时刻对应的功耗值，再计算二者的差值即可；也可以先对两个功耗的差的表达式化简，通过提取公因式简化计算过程，契合本节提公因式分解因式的知识点。
【解析】
解法1：直接代入求值
① 当运行时间$t=2\ \mathrm{h}$时，代入功耗公式$P(t)=100-25t^2$：
$P(2)=100-25×2^2=100-25×4=100-100=0$
② 当运行时间$t=4\ \mathrm{h}$时，代入功耗公式：
$P(4)=100-25×4^2=100-25×16=100-400=-300$
③ 计算两个时刻的功耗差值：
$|P(4)-P(2)|=|-300-0|=300$
解法2：用提公因式法简化计算
先列出功耗差值的表达式，去括号后提取公因式25：
$\begin{aligned}|P(4)-P(2)|&=|(100-25×4^2)-(100-25×2^2)|\\&=|25×2^2-25×4^2|\\&=|25×(2^2-4^2)|\\&=|25×(4-16)|\\&=|25×(-12)|=300\end{aligned}$
【答案】
300
【知识点】
代数式求值，提公因式法分解因式
【点评】
本题结合实际应用场景出题，既可以用代数式代入求值的基础方法求解，也可以通过提公因式分解因式简化运算，能帮助学生巩固因式分解的基础应用，感知数学在实际问题中的用处。
【难度系数】
0.9