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7.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A$为$(0,3)$,点$B$为$(2,1)$,点$C$为$(2,-3)$.经画图操作可知,$△ ABC$的外心坐标是 (
A.$(0,0)$
B.$(1,0)$
C.$(-2,-1)$
D.$(2,0)$
（第7题图）
（第8题图）
C
)A.$(0,0)$
B.$(1,0)$
C.$(-2,-1)$
D.$(2,0)$
（第7题图）
（第8题图）
答案
7.C
解析
【分析】
首先明确三角形外心的性质：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。解题时可先分析特殊边的垂直平分线，快速排除不符合要求的选项，再验证剩余选项即可。观察点B和点C的坐标可知两点横坐标相同，BC为竖直直线，先求BC的垂直平分线，即可快速筛选选项。
【解析】
解：三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，且在各边的垂直平分线上。
1. 求边BC的垂直平分线：
已知$B(2,1)$，$C(2,-3)$，两点横坐标相同，故BC为垂直于x轴的线段，BC的中点坐标为$(2,\frac{1+(-3)}{2})=(2,-1)$，因此BC的垂直平分线是过中点$(2,-1)$且平行于x轴的直线，即$y=-1$。
外心必在这条垂直平分线上，因此外心的纵坐标为$-1$，观察选项，只有C选项$(-2,-1)$的纵坐标为$-1$，其余选项纵坐标均为0，可直接排除A、B、D。
2. 验证选项C：
计算点$(-2,-1)$到三个顶点的距离：
到$A(0,3)$的距离：$\sqrt{(-2-0)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$
到$B(2,1)$的距离：$\sqrt{(-2-2)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$
到$C(2,-3)$的距离：$\sqrt{(-2-2)^2+(-1+3)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$
三个距离相等，符合外心的性质。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的性质、坐标与图形、两点间距离公式
【点评】
本题解题的关键是利用特殊边的垂直平分线快速排除错误选项，简化计算过程，需要熟练掌握三角形外心的性质和平面直角坐标系中线段垂直平分线的求法。
【难度系数】
0.7
首先明确三角形外心的性质：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。解题时可先分析特殊边的垂直平分线，快速排除不符合要求的选项，再验证剩余选项即可。观察点B和点C的坐标可知两点横坐标相同，BC为竖直直线，先求BC的垂直平分线，即可快速筛选选项。
【解析】
解：三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，且在各边的垂直平分线上。
1. 求边BC的垂直平分线：
已知$B(2,1)$，$C(2,-3)$，两点横坐标相同，故BC为垂直于x轴的线段，BC的中点坐标为$(2,\frac{1+(-3)}{2})=(2,-1)$，因此BC的垂直平分线是过中点$(2,-1)$且平行于x轴的直线，即$y=-1$。
外心必在这条垂直平分线上，因此外心的纵坐标为$-1$，观察选项，只有C选项$(-2,-1)$的纵坐标为$-1$，其余选项纵坐标均为0，可直接排除A、B、D。
2. 验证选项C：
计算点$(-2,-1)$到三个顶点的距离：
到$A(0,3)$的距离：$\sqrt{(-2-0)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$
到$B(2,1)$的距离：$\sqrt{(-2-2)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$
到$C(2,-3)$的距离：$\sqrt{(-2-2)^2+(-1+3)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$
三个距离相等，符合外心的性质。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的性质、坐标与图形、两点间距离公式
【点评】
本题解题的关键是利用特殊边的垂直平分线快速排除错误选项，简化计算过程，需要熟练掌握三角形外心的性质和平面直角坐标系中线段垂直平分线的求法。
【难度系数】
0.7
8.如图,在$7×5$网格中,各小正方形边长均为1,点$O,A,B,C,D,E$均在格点上,点$O$是$△ ABC$的外心,在不添加其他字母的情况下,把你认为外心也是$O$的三角形(除$△ ABC$外)都写出来
△ABD,△BCD,△ACD
.答案
8.△ABD,△BCD,△ACD
解析
【分析】
解题的核心依据是三角形外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等。因此只需先计算点O到各格点的距离，找到所有到O的距离与OA（或OB、OC）相等的点，再用这些点组合成除△ABC外的三角形即可。第一步用勾股定理计算各点到O的距离，筛选出共圆的点；第二步组合符合条件的三角形，排除题干给出的△ABC就得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各点到O的距离：
$OA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$OD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$OE=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}≠\sqrt{5}$。
因此点A、B、C、D都在以O为圆心、$\sqrt{5}$为半径的圆上，这四个点中任意三点组成的三角形外心均为O。
排除△ABC后，剩余符合要求的三角形为△ABD、△ACD、△BCD。
【答案】
△ABD,△BCD,△ACD
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题侧重考查对三角形外心定义的理解和应用，结合网格场景考察勾股定理的计算，解题的关键是抓住外心到三顶点距离相等的核心性质，避免漏算符合条件的三角形。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是三角形外心的性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等。因此只需先计算点O到各格点的距离，找到所有到O的距离与OA（或OB、OC）相等的点，再用这些点组合成除△ABC外的三角形即可。第一步用勾股定理计算各点到O的距离，筛选出共圆的点；第二步组合符合条件的三角形，排除题干给出的△ABC就得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各点到O的距离：
$OA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$OC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$OD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$OE=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}≠\sqrt{5}$。
因此点A、B、C、D都在以O为圆心、$\sqrt{5}$为半径的圆上，这四个点中任意三点组成的三角形外心均为O。
排除△ABC后，剩余符合要求的三角形为△ABD、△ACD、△BCD。
【答案】
△ABD,△BCD,△ACD
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题侧重考查对三角形外心定义的理解和应用，结合网格场景考察勾股定理的计算，解题的关键是抓住外心到三顶点距离相等的核心性质，避免漏算符合条件的三角形。
【难度系数】
0.7
9.如图,一圆弧过方格的格点A,B,C,在方格中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为$(-3,2)$.
(1)画出平面直角坐标系.
(2)仅用一把无刻度的直尺,利用网格,找出该圆弧的圆心,并直接写出圆心的坐标.
(1)画出平面直角坐标系.
(2)仅用一把无刻度的直尺,利用网格,找出该圆弧的圆心,并直接写出圆心的坐标.
答案
9.解:(1)直角坐标系如图.
(2)画法如图,圆心坐标为(-2,-1).
解析
【分析】
(1)要建立平面直角坐标系，已知点A坐标为$(-3,2)$，说明原点在点A向右3个单位、向下2个单位的网格交点处，确定原点后画出x轴（水平向右为正方向）和y轴（竖直向上为正方向）即可。
(2)根据圆的性质：圆上任意一点到圆心的距离相等，即圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点。先找到水平弦AC的垂直平分线为竖直直线，再找到弦AB的垂直平分线，两条线的交点即为圆弧的圆心，再读出该点的坐标即可。
【解析】
(1) 由点A的坐标为$(-3,2)$可知：从点A出发，水平向右数3个格、竖直向下数2个格的网格交点为坐标原点$O$，过原点画水平的$x$轴（向右为正方向）、竖直的$y$轴（向上为正方向），即可得到所需平面直角坐标系。
(2) 根据垂径定理，弦的垂直平分线经过圆心：
① 弦$AC$为水平线段，其中点坐标为$(-2,2)$，因此$AC$的垂直平分线是过该中点的竖直线$x=-2$；
② 作弦$AB$的垂直平分线，与直线$x=-2$的交点即为圆弧的圆心；
③ 读取该交点的坐标，可得圆心坐标为$(-2,-1)$。
【答案】
(1)直角坐标系如图.
(2)圆心坐标为$\boldsymbol{(-2,-1)}$
【知识点】
平面直角坐标系建立；垂径定理；垂直平分线性质
【点评】
本题结合网格考查圆的基本性质的应用，解题的核心是理解“弦的垂直平分线经过圆心”这一规律，既考查了作图能力，也考查了坐标识别能力，是圆相关概念的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
(1)要建立平面直角坐标系，已知点A坐标为$(-3,2)$，说明原点在点A向右3个单位、向下2个单位的网格交点处，确定原点后画出x轴（水平向右为正方向）和y轴（竖直向上为正方向）即可。
(2)根据圆的性质：圆上任意一点到圆心的距离相等，即圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点。先找到水平弦AC的垂直平分线为竖直直线，再找到弦AB的垂直平分线，两条线的交点即为圆弧的圆心，再读出该点的坐标即可。
【解析】
(1) 由点A的坐标为$(-3,2)$可知：从点A出发，水平向右数3个格、竖直向下数2个格的网格交点为坐标原点$O$，过原点画水平的$x$轴（向右为正方向）、竖直的$y$轴（向上为正方向），即可得到所需平面直角坐标系。
(2) 根据垂径定理，弦的垂直平分线经过圆心：
① 弦$AC$为水平线段，其中点坐标为$(-2,2)$，因此$AC$的垂直平分线是过该中点的竖直线$x=-2$；
② 作弦$AB$的垂直平分线，与直线$x=-2$的交点即为圆弧的圆心；
③ 读取该交点的坐标，可得圆心坐标为$(-2,-1)$。
【答案】
(1)直角坐标系如图.
(2)圆心坐标为$\boldsymbol{(-2,-1)}$
【知识点】
平面直角坐标系建立；垂径定理；垂直平分线性质
【点评】
本题结合网格考查圆的基本性质的应用，解题的核心是理解“弦的垂直平分线经过圆心”这一规律，既考查了作图能力，也考查了坐标识别能力，是圆相关概念的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
10.如图,已知平面直角坐标系内三点$A(3,0),B(5,0),C(0,4),\odot P$经过点$A,B,C$.求$P$点坐标.
答案
10.解:
∵⊙P经过点A,B,C,
∴点P在线段AB的垂直平分线上,
∴点P的横坐标为4.
设点P的坐标为(4,y),如图,作PE⊥OB于E,PF⊥OC于F,
由题意得PC=PA,$\sqrt{4^2+(y-4)^2}$=$\sqrt{1^2+y^2}$,解得,$y=\frac{31}{8}$,
∴点P的坐标为$(4,\frac{31}{8})$.
解析
【分析】
要确定圆心P的坐标，首先根据圆的性质：圆心到圆上任意点的距离相等，可得PA=PB=PC。首先观察A、B两点都在x轴上，横坐标分别为3和5，因此线段AB的垂直平分线是平行于y轴的直线x=4，即点P的横坐标为4，这样就将点P的坐标简化为只有纵坐标未知的形式，设P(4,y)，再利用PC=PA结合两点间距离公式列方程求解即可。
【解析】
∵⊙P经过点A,B,C，
∴P是圆心，满足PA=PB=PC，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∵A(3,0)，B(5,0)，
∴AB的垂直平分线为直线$x=\frac{3+5}{2}=4$，即点P的横坐标为4。
设点P的坐标为$(4,y)$，作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
由PC=PA，结合两点间距离公式可得：
$\sqrt{(4-0)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(4-3)^2+(y-0)^2}$
两边平方去根号得：$16+(y-4)^2=1+y^2$
展开化简：$16+y^2-8y+16=1+y^2$
消去$y^2$后整理得：$8y=31$，解得$y=\frac{31}{8}$
∴点P的坐标为$(4,\frac{31}{8})$。
【答案】
$(4,\frac{31}{8})$
【知识点】
圆的基本性质；线段垂直平分线的性质；两点间距离公式
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题型，核心是利用圆心到圆上各点距离相等的性质，先通过线段垂直平分线确定圆心的横坐标，简化未知量后列方程求解，既考查了几何性质的应用，也锻炼了代数计算能力。
【难度系数】
0.7
要确定圆心P的坐标，首先根据圆的性质：圆心到圆上任意点的距离相等，可得PA=PB=PC。首先观察A、B两点都在x轴上，横坐标分别为3和5，因此线段AB的垂直平分线是平行于y轴的直线x=4，即点P的横坐标为4，这样就将点P的坐标简化为只有纵坐标未知的形式，设P(4,y)，再利用PC=PA结合两点间距离公式列方程求解即可。
【解析】
∵⊙P经过点A,B,C，
∴P是圆心，满足PA=PB=PC，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∵A(3,0)，B(5,0)，
∴AB的垂直平分线为直线$x=\frac{3+5}{2}=4$，即点P的横坐标为4。
设点P的坐标为$(4,y)$，作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
由PC=PA，结合两点间距离公式可得：
$\sqrt{(4-0)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(4-3)^2+(y-0)^2}$
两边平方去根号得：$16+(y-4)^2=1+y^2$
展开化简：$16+y^2-8y+16=1+y^2$
消去$y^2$后整理得：$8y=31$，解得$y=\frac{31}{8}$
∴点P的坐标为$(4,\frac{31}{8})$。
【答案】
$(4,\frac{31}{8})$
【知识点】
圆的基本性质；线段垂直平分线的性质；两点间距离公式
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的基础题型，核心是利用圆心到圆上各点距离相等的性质，先通过线段垂直平分线确定圆心的横坐标，简化未知量后列方程求解，既考查了几何性质的应用，也锻炼了代数计算能力。
【难度系数】
0.7
