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1. 如图,下列五边形ABCDE都是正五边形,则这些图形中是轴对称图形的有 ()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
正五边形是轴对称图形，且有5条对称轴，每条对称轴都经过一个顶点和对边中点。题中四个图形均为正五边形，无论是否添加对角线，其整体图形仍关于正五边形的某条对称轴成轴对称，故四个图形都是轴对称图形。
2. 有下列说法:①正多边形的各条边相等;②各边相等的多边形是正多边形;③各角相等的多边形是正多边形;④各边相等的圆的内接多边形是正多边形;⑤既是轴对称图形,又是中心对称图形的多边形是正多边形.其中,正确的有 ()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
①正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形，故①正确；②各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形各边相等，但各角不一定相等，不是正多边形，故②错误；③各角相等的多边形不一定是正多边形，如矩形各角相等，但各边不一定相等，不是正多边形，故③错误；④各边相等的圆的内接多边形，根据同圆中弦相等则所对的圆心角相等，进而可得各角相等，所以是正多边形，故④正确；⑤既是轴对称图形，又是中心对称图形的多边形不一定是正多边形，如矩形，故⑤错误。综上，正确的有①④，共2个。
3. 每个外角都是$20^{\circ}$的正多边形的对称轴一共有条.
答案
18
解析
因为多边形外角和为$360^{\circ}$，每个外角是$20^{\circ}$，所以边数为$360÷20 = 18$。正$n$边形有$n$条对称轴，故正十八边形对称轴有$18$条。
4. 将一个正七边形绕它的中心旋转,至少要旋转$^{\circ}$才能与原来的图形重合.
答案
$\frac{360}{7}$
解析
正多边形都是旋转对称图形，一个正n边形绕着它的中心旋转$\frac{360^{\circ}}{n}$后能与原图重合。正七边形的n=7，所以旋转角度为$\frac{360^{\circ}}{7}\approx51.43^{\circ}$，至少旋转的角度就是这个最小旋转角，即$\frac{360}{7}$度。
5. 如图,将$\odot O$八等分,得到$\overset{\frown}{AB}$,将$\odot O$十二等分,得到$\overset{\frown}{AC}$,连接BC.若线段BC是$\odot O$的内接正n边形的一条边,试探究n的值.
答案
24
解析
连接OA、OB、OC。
∵⊙O被八等分，$\overset{\frown}{AB}$为八等分弧，∴∠AOB=$\frac{360°}{8}=45°$。
∵⊙O被十二等分，$\overset{\frown}{AC}$为十二等分弧，∴∠AOC=$\frac{360°}{12}=30°$。
分两种情况：
1. 若点C在∠AOB内部，则∠BOC=∠AOB - ∠AOC=45° - 30°=15°。
此时BC所对圆心角为15°，∴正n边形中心角为15°，n=$\frac{360°}{15°}=24$。
2. 若点C在∠AOB外部，则∠BOC=∠AOB + ∠AOC=45° + 30°=75°。
此时n=$\frac{360°}{75°}=4.8$，不是整数，舍去。
综上，n=24。
∵⊙O被八等分，$\overset{\frown}{AB}$为八等分弧，∴∠AOB=$\frac{360°}{8}=45°$。
∵⊙O被十二等分，$\overset{\frown}{AC}$为十二等分弧，∴∠AOC=$\frac{360°}{12}=30°$。
分两种情况：
1. 若点C在∠AOB内部，则∠BOC=∠AOB - ∠AOC=45° - 30°=15°。
此时BC所对圆心角为15°，∴正n边形中心角为15°，n=$\frac{360°}{15°}=24$。
2. 若点C在∠AOB外部，则∠BOC=∠AOB + ∠AOC=45° + 30°=75°。
此时n=$\frac{360°}{75°}=4.8$，不是整数，舍去。
综上，n=24。
6. (新考向·传统文化)(2024·东营)我国魏晋时期的数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来估算圆周率π的值.如图,$\odot O$的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形的面积来估计$\odot O$的面积,可得π的估计值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.若用圆内接正八边形进行估计,则π的估计值为 ()
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.3
D.$2\sqrt{3}$
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.3
D.$2\sqrt{3}$
答案
B
解析
圆内接正八边形可分割为8个全等的等腰三角形，每个三角形的圆心角为$360°÷8 = 45°$，半径$R = 1$。每个三角形面积为$\frac{1}{2}R^2\sin45°$，正八边形面积$S=8×\frac{1}{2}×1^2×\sin45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。用其估计圆面积$\pi R^2=\pi$，故$\pi\approx2\sqrt{2}$。
7. (易错题)如图所示为一种警报装置的示意图,电子屏幕上有一个正六边形ABCDEF,点P沿直线AB从右向左移动,当出现点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点距离相等时,就会发出警报,则直线AB上会发出警报的点P有个.
答案
5
解析
以直线AB为x轴，建立坐标系，设正六边形顶点坐标：A(0,0)、B(1,0)、C(1.5,√3/2)、D(1,√3)、E(0,√3)、F(-0.5,√3/2)。点P(p,0)在x轴上，满足到两顶点距离相等时，由垂直平分线性质得p=[(x₂²+y₂²)-(x₁²+y₁²)]/[2(x₂-x₁)]。计算所有顶点对垂直平分线与x轴交点，去重后得p=-1,0,0.5,1,2，共5个不同点。
