1. 如果方程 $ 2x = 2 $ 和方程 $ \frac{a + x}{2} = \frac{a + 2x}{3} - 1 $ 的解互为相反数,那么 $ a $ 的值为( )。

A.0
B.5
C.-7
D.7

【解析】：
本题主要考查一元一次方程的解法以及相反数的概念。
首先，我们解方程$2x = 2$，得到$x = 1$。
根据题目条件，方程$2x = 2$和方程$\frac{a + x}{2} = \frac{a + 2x}{3} - 1$的解互为相反数，
所以方程$\frac{a + x}{2} = \frac{a + 2x}{3} - 1$的解应该是$x = -1$。
接下来，我们将$x = -1$代入方程$\frac{a + x}{2} = \frac{a + 2x}{3} - 1$中，
得到：$\frac{a - 1}{2} = \frac{a - 2}{3} - 1$，
为了消去分母，我们可以将方程两边同时乘以6（即两个分母的最小公倍数）：
$6 × \frac{a - 1}{2} = 6 × \left( \frac{a - 2}{3} - 1 \right)$，
简化后得到：$3(a - 1) = 2(a - 2) - 6$，
进一步展开和整理，我们得到：$3a - 3 = 2a - 4 - 6$，
移项并合并同类项，解得：$a = -7$。
【答案】：
C

2. 下列各个变形正确的是( )。

A.由 $ \frac{2x - 1}{3} = 1 + \frac{x - 3}{2} $,去分母,得 $ 2(2x - 1) = 1 + 3(x - 3) $
B.方程 $ \frac{3x}{0.5} - \frac{1.4 - x}{0.4} = 1 $ 可化为 $ \frac{30x}{5} - \frac{14 - x}{4} = 1 $
C.由 $ 2(2x - 1) - 3(x - 3) = 1 $,去括号,得 $ 4x - 2 - 3x - 9 = 1 $
D.由 $ 2(x + 1) = x + 7 $,去括号,移项,合并同类项,得 $ x = 5 $

【解析】：
本题主要考察一元一次方程的变形，包括去分母，去括号，移项，合并同类项等步骤。
A. 对于选项A，我们需要将方程 $\frac{2x - 1}{3} = 1 + \frac{x - 3}{2}$ 两边同时乘以6（即两个分母的最小公倍数）以去分母。
正确的变形应为 $2 × (2x - 1) = 6 × 1 + 3 × (x - 3)$，
即 $4x - 2 = 6 + 3x - 9$，
但选项A给出的是 $2(2x - 1) = 1 + 3(x - 3)$，
显然，这里的1没有乘以6，所以A选项是错误的。
B. 对于选项B，我们需要将方程 $\frac{3x}{0.5} - \frac{1.4 - x}{0.4} = 1$ 两边同时乘以20（即分母0.5和0.4的最小公倍数10的2倍，为了消除小数）以化简。
正确的变形应为 $\frac{3x × 20}{0.5 × 20} - \frac{(1.4 - x) × 20}{0.4 × 20} = 1 × 20$，
即 $60x/5 - (14 - x) × 5/2 = 20$，
进一步化简得 $12x - (14 - x) × 2.5 = 20$，
再化简为 $12x - 35 + 2.5x = 20$，
即 $14.5x - 35 = 20$，
但选项B给出的是 $\frac{30x}{5} - \frac{14 - x}{4} = 1$，
显然，这里的变形不符合正确的去分母步骤，所以B选项是错误的。
C. 对于选项C，我们需要将方程 $2(2x - 1) - 3(x - 3) = 1$ 去括号。
正确的变形应为 $4x - 2 - 3x + 9 = 1$，
但选项C给出的是 $4x - 2 - 3x - 9 = 1$，
显然，这里的 $-3(x - 3)$ 被错误地变形为 $-3x - 9$，所以C选项是错误的。
D. 对于选项D，我们需要将方程 $2(x + 1) = x + 7$ 去括号，移项，合并同类项。
去括号得 $2x + 2 = x + 7$，
移项得 $2x - x = 7 - 2$，
合并同类项得 $x = 5$，
选项D给出的是 $x = 5$，
这与正确的变形结果一致，所以D选项是正确的。
【答案】：
D

3. 对于有理数 $ a,b $,规定一种新运算, $ a \oplus b = (a + b)b $,如 $ 2 \oplus 3 = (2 + 3) × 3 = 15 $,则方程 $ (x - 4) \oplus 3 = 6 $ 的解为______。

【解析】：
根据题目中给出的新运算规则，我们有$a \oplus b = (a + b) × b$，
将这一规则应用到方程$ (x - 4) \oplus 3 = 6 $中，我们得到：
$(x - 4 + 3) × 3 = 6$，
即：
$(x - 1) × 3 = 6$，
进一步化简，我们得到：
$x - 1 = 2$，
解得：
$x = 3$，
所以这道题目考查了自定义运算规则的应用，一元一次方程的建立和求解。
【答案】：
$x = 3$

4. 某服装店店庆期间开展优惠活动,某款衣服的广告如图,广告牌上的原价为______元。

【解析】：本题主要考查了百分数的应用以及一元一次方程的求解。
题目中给出了衣服的现价是160元，且这个现价是原价的8折（即原价的80%）后的价格。
设原价为$x$元，那么根据8折的优惠，可以列出方程：
$0.8x = 160$
接下来，解这个方程来找出原价$x$。
【答案】：
解：设原价为$x$元。
根据题意，有方程：
$0.8x = 160$
解方程得：
$x = \frac{160}{0.8}$
$x = 200$
所以，广告牌上的原价为200元。

5. 一商店在某一时间以每件 $ a $ 元的价格卖出丝巾、围巾两件商品,其中丝巾盈利 $ 20\% $,围巾亏损 $ 20\% $,则丝巾原价______元,围巾原价______元；若卖出这两件商品商店共亏损 $ 10 $ 元,则 $ a $ 的值为______。

【解析】：
本题考查的是盈利和亏损的计算问题。
首先，我们需要根据盈利和亏损的比例，反推出丝巾和围巾的原价。
然后，根据题目中给出的总亏损金额，设立方程求解$a$。
对于丝巾，盈利了$20\%$，即售价是原价的$120\%$，
所以原价为：$\frac{a}{1+20\%}=\frac{a}{1.2}=\frac{5}{6}a$，
对于围巾，亏损了$20\%$，即售价是原价的$80\%$，
所以原价为：$\frac{a}{1-20\%}=\frac{a}{0.8}=\frac{5}{4}a$，
接下来，根据题目中“卖出这两件商品商店共亏损$10$元”这一条件，
我们可以列出方程：$\frac{5}{6}a + \frac{5}{4}a - 2a = 10$，
其中，$\frac{5}{6}a$ 和 $\frac{5}{4}a$ 分别是丝巾和围巾的原价，$2a$ 是两件商品的售价总和。
解这个方程，我们可以得到$a$的值。
【答案】：
丝巾原价为$\frac{5}{6}a$元；
围巾原价为$\frac{5}{4}a$元；
$a$的值为$120$。