典例3 如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两个角分别等于∠α，∠β，且∠α的对边等于a。

典例解析

典例3 作法 如图.

【分析】
要作满足条件的三角形，已知两个角∠α、∠β和∠α的对边长为a，首先根据三角形内角和为180°，可先求出第三个角的度数，将“已知两角及其中一角的对边作三角形”的问题转化为已学的“已知两角及其夹边作三角形”的问题，再结合作线段等于已知线段、作一个角等于已知角的基本作图方法逐步操作即可。
【解析】
具体作法如下：
1. 利用平角的定义，作∠γ=180°-∠α-∠β；
2. 用圆规和直尺作线段AB=a；
3. 分别以点A、B为顶点，在线段AB的同侧作∠MAB=∠β，∠NBA=∠γ，射线AM与BN交于点C。
此时△ABC就是所求作的三角形。
【答案】
作法见上述解析，最终作出的△ABC即为所求。
【知识点】
尺规作图；三角形内角和定理；作一个角等于已知角
【点评】
本题是基础尺规作图题，核心是将不熟悉的“两角及一角对边作三角形”的问题转化为已经掌握的“两角夹边作三角形”的模型，解题时需要熟练掌握基本尺规作图的操作规范，注意作图时两个角要作在已知线段的同侧。
【难度系数】
0.7

典例4 如图，AC，BC平分△AOB的两个外角∠MAB和∠NBA，C为交点，∠AOB＝50°，求∠COB的度数.

典例3
作法 如图.

典例4
解 过点C作CE⊥ON于点E，CF⊥AB于点F，CG⊥OM于点G，
∵AC，BC平分∠MAB和∠NBA，∴CE＝CF，CF＝CG，
∴CE＝CG，∴OC是∠AOB的平分线，∴∠COB＝$\frac{1}{2}$∠AOB＝$\frac{1}{2}$×50°＝25°.

典例4 解 过点C作CE⊥ON于点E，CF⊥AB于点F，CG⊥OM于点G，
∵AC，BC平分∠MAB和∠NBA，
∴CE＝CF，CF＝CG，
∴CE＝CG，
∴OC是∠AOB的平分线，
∴∠COB＝$\frac{1}{2}$∠AOB＝$\frac{1}{2}$×50°＝25°.

【分析】
看到题目中出现角平分线条件，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。要求∠COB的度数，可先证明OC是∠AOB的平分线，根据角平分线的判定定理，只需证明点C到∠AOB两边OM、ON的距离相等即可。因此我们过点C分别作OM、ON、AB的垂线，利用已知的两条外角角平分线，推导得到点C到OM、ON的距离相等，即可证明OC平分∠AOB，最后根据角平分线的定义计算∠COB的度数。
【解析】
过点C作CE⊥ON于点E，CF⊥AB于点F，CG⊥OM于点G，
∵AC平分∠MAB，CG⊥OM，CF⊥AB，
∴CG=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵BC平分∠NBA，CE⊥ON，CF⊥AB，
∴CE=CF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴CE=CG，
又
∵CE⊥ON，CG⊥OM，
∴OC是∠AOB的平分线（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴∠COB＝$\frac{1}{2}$∠AOB＝$\frac{1}{2}$×50°＝25°。
【答案】
25°
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；角的运算
【点评】
本题是角平分线性质与判定的典型综合应用题，解题核心是通过作三条垂线段，将已知的角平分线条件和待证的角平分线结论关联起来，熟练掌握角平分线的性质和判定定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7