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6.如图,已知在长方形ABCD中,R,P分别是DC,BC上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时,线段EF的长度 （
A.逐渐增大
B.逐渐减小
C.不改变
D.变化情况不能确定
C
）A.逐渐增大
B.逐渐减小
C.不改变
D.变化情况不能确定
答案
6.C
解析
【分析】
首先观察题干给出的中点条件，看到三角形两边中点的连线时，优先联想到三角形中位线定理。我们可先连接AR，此时EF就是△ARP的中位线，根据中位线性质可知EF长度为AR的一半。再判断AR的长度变化：点A是长方形的固定顶点，点R也保持不动，因此AR是定长，可推出EF的长度也固定不变。
【解析】
连接AR，
∵E是AP的中点，F是RP的中点，
∴EF是△ARP的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AR$，
∵点A和点R均为固定不动的点，
∴线段AR的长度是定值，因此$EF=\frac{1}{2}AR$也为定值，即线段EF的长度不改变。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形中位线的典型应用题型，解题关键是通过连接辅助线AR，将待判断的动线段EF转化为定值线段AR的一半，无需分析动点P的运动轨迹即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
首先观察题干给出的中点条件，看到三角形两边中点的连线时，优先联想到三角形中位线定理。我们可先连接AR，此时EF就是△ARP的中位线，根据中位线性质可知EF长度为AR的一半。再判断AR的长度变化：点A是长方形的固定顶点，点R也保持不动，因此AR是定长，可推出EF的长度也固定不变。
【解析】
连接AR，
∵E是AP的中点，F是RP的中点，
∴EF是△ARP的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AR$，
∵点A和点R均为固定不动的点，
∴线段AR的长度是定值，因此$EF=\frac{1}{2}AR$也为定值，即线段EF的长度不改变。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形中位线的典型应用题型，解题关键是通过连接辅助线AR，将待判断的动线段EF转化为定值线段AR的一半，无需分析动点P的运动轨迹即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
7.【整体思想】如图，在四边形ABCD中，AD//BC，作AE//DC交BC于点E.如果△ABE的周长是25 cm，四边形ABCD的周长是37 cm，那么AD=
6
cm.答案
7.6
解析
【分析】
首先根据题目给出的两组对边平行的条件，判定四边形AECD是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质，将四边形ABCD的周长用△ABE的周长和AD的长度表示，通过两个周长的差值建立关于AD的等式求解即可。
【解析】
解：
∵AD//BC，AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴AD=EC，AE=DC。
已知△ABE的周长为25cm，即：
$C_{△ ABE}=AB+BE+AE=25\mathrm{cm}$，
四边形ABCD的周长为37cm，即：
$C_{\mathrm{四边形}ABCD}=AB+BC+CD+AD=37\mathrm{cm}$，
又
∵BC=BE+EC=BE+AD，CD=AE，代入上式得：
$AB+(BE+AD)+AE+AD=(AB+BE+AE)+2AD=25+2AD=37$，
解得：$2AD=12$，即$AD=6\mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；整体思想
【点评】
本题通过平行四边形的性质实现线段的等量代换，结合整体思想分析两个周长之间的数量关系，无需单独计算各边长度即可快速求解，是几何周长类问题的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的两组对边平行的条件，判定四边形AECD是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质，将四边形ABCD的周长用△ABE的周长和AD的长度表示，通过两个周长的差值建立关于AD的等式求解即可。
【解析】
解：
∵AD//BC，AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴AD=EC，AE=DC。
已知△ABE的周长为25cm，即：
$C_{△ ABE}=AB+BE+AE=25\mathrm{cm}$，
四边形ABCD的周长为37cm，即：
$C_{\mathrm{四边形}ABCD}=AB+BC+CD+AD=37\mathrm{cm}$，
又
∵BC=BE+EC=BE+AD，CD=AE，代入上式得：
$AB+(BE+AD)+AE+AD=(AB+BE+AE)+2AD=25+2AD=37$，
解得：$2AD=12$，即$AD=6\mathrm{cm}$。
【答案】
6
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；整体思想
【点评】
本题通过平行四边形的性质实现线段的等量代换，结合整体思想分析两个周长之间的数量关系，无需单独计算各边长度即可快速求解，是几何周长类问题的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
8.如图,在$□ ABCD$中,$∠ BAD$的平分线$AE$交$CD$于点$F$,交$BC$的延长线于点$E$,连接$BF$.
(1)求证:$BE=AB$;
(2)若$BF$恰好平分$∠ ABE$,连接$AC$,$DE$,求证:四边形$ACED$是平行四边形.
(1)求证:$BE=AB$;
(2)若$BF$恰好平分$∠ ABE$,连接$AC$,$DE$,求证:四边形$ACED$是平行四边形.
答案
8.证明:(1)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ DAE=∠ AEB$.
$\because AE$ 平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAE=∠ DAE$，
$\therefore ∠ AEB=∠ BAE$.
$\therefore BE=AB$.
(2)$\because BE=AB,BF$ 平分$∠ ABE$，
$\therefore AF=EF$.
由(1)知$∠ DAF=∠ CEF$.
在$△ ADF$ 和$△ ECF$ 中，
$\begin{cases}∠ DAF=∠ CEF,\\AF=EF,\\∠ AFD=∠ EFC,\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ ECF(\mathrm{ASA})$.
$\therefore DF=CF$.
又 $AF=EF$，
$\therefore$ 四边形 $ACED$ 是平行四边形.
$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ DAE=∠ AEB$.
$\because AE$ 平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAE=∠ DAE$，
$\therefore ∠ AEB=∠ BAE$.
$\therefore BE=AB$.
(2)$\because BE=AB,BF$ 平分$∠ ABE$，
$\therefore AF=EF$.
由(1)知$∠ DAF=∠ CEF$.
在$△ ADF$ 和$△ ECF$ 中，
$\begin{cases}∠ DAF=∠ CEF,\\AF=EF,\\∠ AFD=∠ EFC,\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ ECF(\mathrm{ASA})$.
$\therefore DF=CF$.
又 $AF=EF$，
$\therefore$ 四边形 $ACED$ 是平行四边形.
解析
【分析】
(1) 要证$BE=AB$，可通过“等角对等边”推导：首先利用平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，再结合角平分线的定义进行角的等量代换，得到$∠BAE=∠AEB$，即可推出边相等。
(2) 要证四边形$ACED$是平行四边形，可通过“对角线互相平分的四边形是平行四边形”推导：首先由(1)的结论结合角平分线，利用等腰三角形三线合一得到$AF=EF$，再证明$△ ADF$和$△ ECF$全等得到$DF=CF$，即可得到四边形对角线互相平分，完成证明。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠DAE=∠AEB$。
$\because AE$ 平分$∠BAD$，
$\therefore ∠BAE=∠DAE$，
$\therefore ∠AEB=∠BAE$，
$\therefore BE=AB$。
(2) 证明：
$\because BE=AB,BF$ 平分$∠ABE$，
$\therefore AF=EF$。
由(1)知$AD// BC$，故$∠DAF=∠CEF$，
在$△ ADF$ 和$△ ECF$ 中，
$\begin{cases}∠ DAF=∠ CEF,\\AF=EF,\\∠ AFD=∠ EFC,\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ ECF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore DF=CF$。
又 $AF=EF$，即四边形$ACED$的对角线互相平分，
$\therefore$ 四边形 $ACED$ 是平行四边形。
【答案】
(1) $BE=AB$，得证；
(2) 四边形$ACED$是平行四边形，得证。
【知识点】
1. 平行四边形的性质与判定
2. 等腰三角形的性质
3. 全等三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将平行四边形、角平分线、等腰三角形、全等三角形的知识点结合考察，解题关键是能灵活运用相关定理挖掘边角的等量关系，难度较低，适合巩固基础几何的解题逻辑。
【难度系数】
0.75
(1) 要证$BE=AB$，可通过“等角对等边”推导：首先利用平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，再结合角平分线的定义进行角的等量代换，得到$∠BAE=∠AEB$，即可推出边相等。
(2) 要证四边形$ACED$是平行四边形，可通过“对角线互相平分的四边形是平行四边形”推导：首先由(1)的结论结合角平分线，利用等腰三角形三线合一得到$AF=EF$，再证明$△ ADF$和$△ ECF$全等得到$DF=CF$，即可得到四边形对角线互相平分，完成证明。
【解析】
(1) 证明：
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠DAE=∠AEB$。
$\because AE$ 平分$∠BAD$，
$\therefore ∠BAE=∠DAE$，
$\therefore ∠AEB=∠BAE$，
$\therefore BE=AB$。
(2) 证明：
$\because BE=AB,BF$ 平分$∠ABE$，
$\therefore AF=EF$。
由(1)知$AD// BC$，故$∠DAF=∠CEF$，
在$△ ADF$ 和$△ ECF$ 中，
$\begin{cases}∠ DAF=∠ CEF,\\AF=EF,\\∠ AFD=∠ EFC,\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ ECF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore DF=CF$。
又 $AF=EF$，即四边形$ACED$的对角线互相平分，
$\therefore$ 四边形 $ACED$ 是平行四边形。
【答案】
(1) $BE=AB$，得证；
(2) 四边形$ACED$是平行四边形，得证。
【知识点】
1. 平行四边形的性质与判定
2. 等腰三角形的性质
3. 全等三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将平行四边形、角平分线、等腰三角形、全等三角形的知识点结合考察，解题关键是能灵活运用相关定理挖掘边角的等量关系，难度较低，适合巩固基础几何的解题逻辑。
【难度系数】
0.75
