1.若$(a+1)x-(b-2)y=5$是关于$x,y$的二元一次方程，则必须满足 （）

A.$a≠1$
B.$b≠2$
C.$a≠-1$或$b≠2$
D.$a≠-1$且$b≠2$

1.D

【分析】
要判断满足二元一次方程的条件，首先回忆二元一次方程的核心要求：必须含有2个不同的未知数，且未知数的次数都是1。本题中x、y的次数已经是1，所以只需保证两个未知数的系数都不为0即可：如果x的系数为0，方程就只剩y一个未知数；如果y的系数为0，方程就只剩x一个未知数，都不符合“二元”的要求，因此两个系数不为0的条件需要同时满足。
【解析】
根据二元一次方程的定义，方程需含有两个未知数x、y，因此x、y的系数均不能为0：
1. 对x的系数：$a+1≠0$，解得$a≠-1$；
2. 对y的系数：$-(b-2)≠0$，即$b-2≠0$，解得$b≠2$。
两个条件需同时成立，即$a≠-1$且$b≠2$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的定义、简单不等式求解
【点评】
本题属于基础概念应用题，易错点是混淆逻辑连接词“且”和“或”，需注意二元一次方程要求两个未知数同时存在，因此两个系数不为0的条件必须同时满足。
【难度系数】
0.7

2. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

A.$\begin{cases}3x - y = 6, \\ xy = 10\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{2} = 6, \\ 3x + 2y = 10\end{cases}$
C.$\begin{cases}\dfrac{5}{x} - 7y = 6, \\ 2x + 4y = 5\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 8, \\ x^2 + y^2 = 25\end{cases}$

2.B

【分析】
要判断一个方程组是否为二元一次方程组，需紧扣三个判定要点：①方程组中一共只含有2个不同的未知数；②每个方程都是整式方程（分母不含未知数）；③所有含未知数的项的次数都是1。解题时我们可以对照这三个要点逐一排查选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程组的定义：由两个共含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
对各选项逐一分析：
选项A：第二个方程$xy=10$中，$xy$项的次数是$1+1=2$，不满足“含未知数的项的次数为1”的要求，不是二元一次方程组；
选项B：两个方程都只含有$x$、$y$两个未知数，含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，符合二元一次方程组的定义；
选项C：第一个方程$\frac{5}{x}-7y=6$中，分母含有未知数$x$，属于分式方程，不满足“整式方程”的要求，不是二元一次方程组；
选项D：第二个方程$x^2+y^2=25$中，$x^2$、$y^2$的次数都是2，不满足“含未知数的项的次数为1”的要求，不是二元一次方程组。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程组的判定
2. 整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对二元一次方程组定义的掌握程度。解题的关键是牢记三个判定标准，尤其要注意区分“未知数的次数”和“含未知数的项的次数”，同时注意分母含未知数的方程不属于整式方程，不符合二元一次方程组的要求。
【难度系数】
0.8

3. 已知下列四组$x,y$的值:①$\begin{cases}x=2, \\ y=2;\end{cases}$②$\begin{cases}x=2, \\ y=1;\end{cases}$③$\begin{cases}x=2, \\ y=-2;\end{cases}$④$\begin{cases}x=1, \\ y=6.\end{cases}$其中是方程$4x+y=10$的解的有（ ）

A.4组
B.3组
C.2组
D.1组

3.C

【分析】
要判断给定的四组值是不是方程$4x+y=10$的解，依据二元一次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。解题思路是把每组$x、y$的值分别代入方程的左边，计算结果后和右边的10比较，相等的就是方程的解，最后统计符合条件的组数即可。
【解析】
逐组代入方程$4x+y=10$的左边计算：
1. 将①$\begin{cases}x=2, \\ y=2;\end{cases}$代入左边：$4×2 + 2 = 10$，左边=右边，故①是方程的解；
2. 将②$\begin{cases}x=2, \\ y=1;\end{cases}$代入左边：$4×2 + 1 = 9$，左边≠右边，故②不是方程的解；
3. 将③$\begin{cases}x=2, \\ y=-2;\end{cases}$代入左边：$4×2 + (-2) = 6$，左边≠右边，故③不是方程的解；
4. 将④$\begin{cases}x=1, \\ y=6;\end{cases}$代入左边：$4×1 + 6 = 10$，左边=右边，故④是方程的解。
综上，是方程解的共有2组。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解、代入检验法
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二元一次方程解的判定方法，通过代入计算对比即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

4. 用代入法解方程组$\begin{cases} x+5y=6, ① \\ x-3y=2. ② \end{cases}$
解:由②,得$x=2+3y$. ③ (1)
把③代入①,得$2+3y+5y=6$. (2)
解得$y=1$. (3)
把$y=1$代入③,得$x=5$. (4)
所以$\begin{cases} x=5, \\ y=1. \end{cases}$
以上解题过程中,造成错误的第一步是 ()
A. (1) B. (2)
C. (3) D. (4)

4.C

【分析】
要找出解题过程中第一步出错的位置，需按照代入消元法解二元一次方程组的规范步骤，逐一对给出的4步操作进行核验：先验证移项变形是否正确，再验证代入操作是否正确，接着验证一元一次方程的求解是否正确，最后验证回代计算是否正确，即可定位首个错误步骤。
【解析】
我们逐一对每一步进行校验：
1. 校验步骤(1)：对②式$x-3y=2$移项，将$-3y$移到等号右侧，得$x=2+3y$，移项符号正确，故(1)操作无误。
2. 校验步骤(2)：把③式$x=2+3y$代入①式替换$x$，得$2+3y+5y=6$，代入操作符合规则，故(2)操作无误。
3. 校验步骤(3)：解方程$2+3y+5y=6$，先合并同类项得$2+8y=6$，移项得$8y=6-2=4$，系数化为1得$y=4÷8=\frac{1}{2}$，题目中解得$y=1$，计算结果错误，故(3)是首个出错的步骤。
4. 步骤(4)是基于错误的$y=1$计算的，不属于第一步错误。
因此造成错误的第一步是(3)，对应选项C。
【答案】C
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组；一元一次方程的解法
【点评】
本题重点考查代入消元法解方程组的步骤辨析，易错点为解一元一次方程时移项、系数化为1的计算失误，解题时需对每一步操作严格核对，保障计算准确性。
【难度系数】
0.8

5.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马。若设大马有x匹，小马有y匹，则可列方程组为（）

A.$\begin{cases} x+y=100, \\ 3x+3y=100 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=100, \\ x+3y=100 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=100, \\ 3x+\frac{1}{3}y=100 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=100, \\ 3x+y=100 \end{cases}$

5.C

【分析】
本题是二元一次方程组的实际应用问题，解题核心是找到题目中的两个等量关系。首先明确总马匹数的等量关系：大马数量加小马数量等于100；其次明确总瓦数的等量关系：大马拉的总瓦数加小马拉的总瓦数等于100，尤其要注意小马拉瓦的单位量计算，3匹小马拉1片瓦，因此1匹小马能拉$\frac{1}{3}$片瓦，再分别表示两种马的拉瓦量即可列出对应方程，进而选出正确选项。
【解析】
第一步，根据总马匹数列方程：已知大马有x匹，小马有y匹，总共有100匹马，因此可得$x+y=100$。
第二步，根据总瓦数列方程：1匹大马能拉3片瓦，x匹大马共拉$3x$片瓦；3匹小马能拉1片瓦，即1匹小马拉$\frac{1}{3}$片瓦，y匹小马共拉$\frac{1}{3}y$片瓦，总瓦数为100片，因此可得$3x+\frac{1}{3}y=100$。
联立两个方程得到方程组为$\begin{cases} x+y=100, \\ 3x+\frac{1}{3}y=100 \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 实际问题等量关系确定
【点评】
本题以古代数学名著的问题为背景，考查将实际问题转化为数学方程组的能力，解题的易错点是计算小马拉瓦总量时，误将1匹小马拉的瓦数当成3片，只要找准等量关系、正确计算单位量即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

6.已知$(2x - y - 4)^2 + |x + 3y + 5| = 0$，则$x=$，$y=$。

6.1 -2

【分析】
首先回忆非负数的性质：任意数的平方是非负数，任意数的绝对值也是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数都为0。据此可以列出关于x、y的二元一次方程组，再解方程组即可求出x、y的取值。
【解析】
∵ $(2x - y - 4)^2≥0$，$|x + 3y + 5|≥0$，且两者的和为0
∴ 可得到二元一次方程组：
$\begin{cases}2x - y - 4 = 0&①\\x + 3y + 5 = 0&②\end{cases}$
由①变形得：$y = 2x - 4$ ③
将③代入②得：$x + 3(2x - 4) + 5 = 0$
展开计算：$x + 6x - 12 + 5 = 0$，整理得$7x = 7$，解得$x = 1$
把$x = 1$代入③得：$y = 2×1 - 4 = -2$
【答案】
1；-2
【知识点】
非负数的性质；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握"几个非负数的和为0时，每个非负数均为0"的性质，再结合二元一次方程组的解法求解即可。
【难度系数】
0.8

7.如果$\begin{cases}x=3, \\ y=2\end{cases}$是方程$6x+by=32$的解，那么$b=$ ______ 。

7.7

【分析】
本题可根据二元一次方程解的定义求解，解题思路如下：首先明确，若一组数是方程的解，那么将这组数代入方程后，方程左右两边一定相等。因此我们只需把已知的x、y的值代入原方程，就能把原方程转化为只含有未知数b的一元一次方程，再按照一元一次方程的求解步骤计算，即可得到b的值。
【解析】
解：已知$\begin{cases}x=3, \\ y=2\end{cases}$是方程$6x+by=32$的解，
将$x=3$、$y=2$代入原方程，可得：
$6×3 + 2b = 32$
计算得：$18 + 2b = 32$
移项得：$2b = 32 - 18$
合并同类项得：$2b = 14$
系数化为1得：$b = 7$
【答案】
7
【知识点】
二元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题是基础运算类题型，解题的核心是掌握方程的解的定义，代入后转化为一元一次方程计算即可，计算时注意移项要变号，避免出现低级计算错误。
【难度系数】
0.85

8.用代入法解方程组：
$\{\begin{array}{l}3(m-1)=n+5,\\5(n-1)=3(m+5).\end{array} $

8.$\begin{cases}m=5, \\n=7.\end{cases}$

【分析】
本题考查用代入法解二元一次方程组，解题思路如下：第一步先将原方程组中两个带括号的方程去括号、移项化简，选择系数更简单的第一个方程，将n用含m的代数式表示出来；第二步将得到的n的表达式代入第二个方程，消去n，得到关于m的一元一次方程，解出m的值；第三步将求得的m的值回代到n的表达式中，求出n的值，即可得到方程组的解。
【解析】
将原方程组标记为：
$\begin{cases}3(m-1)=n+5&①\\5(n-1)=3(m+5)&②\end{cases}$
1. 化简方程①：
去括号得：$3m - 3 = n + 5$
移项整理得：$n = 3m - 8$ ③
2. 将③代入方程②消去n：
$5[(3m - 8) - 1] = 3(m + 5)$
化简左边括号得：$5(3m - 9) = 3(m + 5)$
左右两边去括号得：$15m - 45 = 3m + 15$
移项得：$15m - 3m = 15 + 45$
合并同类项得：$12m = 60$
系数化为1得：$m = 5$
3. 将$m=5$代入③，计算n的值：
$n = 3×5 - 8 = 7$
【答案】
$\begin{cases}m=5 \\n=7\end{cases}$
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组、一元一次方程的解法
【点评】
本题是代入法解二元一次方程组的常规基础题，解题核心是熟练掌握代入消元的步骤，先简化方程，再选择合适的方程变形实现消元，计算过程中要注意去括号、移项时的符号变化，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8