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5.如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=3,在BC边上取一点E,使BE=4,连接AE,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCF的位置,拼成四边形AEFD.
(1)求证:四边形AEFD是菱形;
(2)求四边形AEFD的两条对角线的长.
(1)求证:四边形AEFD是菱形;
(2)求四边形AEFD的两条对角线的长.
答案
5.(1)由平移的性质得$AE// DF$,$AE=DF$,$\therefore$ 四边形AEFD是平行四边形.$\because$ 四边形ABCD是矩形,$\therefore ∠ B=∠ DCE=90°$,$\therefore AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$,即$AE=AD$,$\therefore$ 四边形AEFD是菱形
(2)连接DE,AF,在$\mathrm{Rt}△ ABF$中,$BF=BE+EF=4+5=9$,由勾股定理得$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{3^2+9^2}=3\sqrt{10}$,在$\mathrm{Rt}△ DCE$中,$CE=BC-BE=5-4=1$,由勾股定理得到$DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
(2)连接DE,AF,在$\mathrm{Rt}△ ABF$中,$BF=BE+EF=4+5=9$,由勾股定理得$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{3^2+9^2}=3\sqrt{10}$,在$\mathrm{Rt}△ DCE$中,$CE=BC-BE=5-4=1$,由勾股定理得到$DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$
解析
【分析】
(1) 要证明四边形AEFD是菱形，首先根据平移性质可先证该四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等即可：先利用平移得到AE与DF平行且相等，判定平行四边形；再结合矩形的直角，用勾股定理计算AE的长度，和AD的长度对比得到邻边相等，即可完成菱形证明。(2) 求两条对角线长度时，分别找到包含对应对角线的直角三角形，先计算出直角三角形的两条直角边长，再用勾股定理计算对角线长即可：求AF时利用Rt△ABF，先算BF长度；求DE时利用Rt△DCE，先算CE长度。
【解析】
(1) 证明：由平移的性质得$AE// DF$，$AE=DF$，
∴ 四边形AEFD是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ B=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
又$\because AD=5$，$\therefore AE=AD$，
∴ 平行四边形AEFD是菱形。
(2) 解：连接$AF$、$DE$，
求AF的长度：
∵ 四边形AEFD是菱形，$\therefore EF=AD=5$，
$\therefore BF=BE+EF=4+5=9$，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{3^2+9^2}=3\sqrt{10}$；
求DE的长度：
∵ 四边形ABCD是矩形，$\therefore BC=AD=5$，$CD=AB=3$，$∠ DCE=90°$，
$\therefore CE=BC-BE=5-4=1$，
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中，由勾股定理得$DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 四边形AEFD是菱形，得证；
(2) 对角线AF长为$3\sqrt{10}$，对角线DE长为$\sqrt{10}$。
【知识点】
平移的性质；菱形的判定；勾股定理
【点评】
本题将图形平移和特殊四边形的知识结合考查，难度不高，解题的核心是熟练掌握平移的性质、菱形的判定方法，能准确找到直角三角形运用勾股定理计算线段长度，属于基础的综合应用题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形AEFD是菱形，首先根据平移性质可先证该四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等即可：先利用平移得到AE与DF平行且相等，判定平行四边形；再结合矩形的直角，用勾股定理计算AE的长度，和AD的长度对比得到邻边相等，即可完成菱形证明。(2) 求两条对角线长度时，分别找到包含对应对角线的直角三角形，先计算出直角三角形的两条直角边长，再用勾股定理计算对角线长即可：求AF时利用Rt△ABF，先算BF长度；求DE时利用Rt△DCE，先算CE长度。
【解析】
(1) 证明：由平移的性质得$AE// DF$，$AE=DF$，
∴ 四边形AEFD是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ B=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
又$\because AD=5$，$\therefore AE=AD$，
∴ 平行四边形AEFD是菱形。
(2) 解：连接$AF$、$DE$，
求AF的长度：
∵ 四边形AEFD是菱形，$\therefore EF=AD=5$，
$\therefore BF=BE+EF=4+5=9$，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{3^2+9^2}=3\sqrt{10}$；
求DE的长度：
∵ 四边形ABCD是矩形，$\therefore BC=AD=5$，$CD=AB=3$，$∠ DCE=90°$，
$\therefore CE=BC-BE=5-4=1$，
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中，由勾股定理得$DE=\sqrt{CD^2+CE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 四边形AEFD是菱形，得证；
(2) 对角线AF长为$3\sqrt{10}$，对角线DE长为$\sqrt{10}$。
【知识点】
平移的性质；菱形的判定；勾股定理
【点评】
本题将图形平移和特殊四边形的知识结合考查，难度不高，解题的核心是熟练掌握平移的性质、菱形的判定方法，能准确找到直角三角形运用勾股定理计算线段长度，属于基础的综合应用题。
【难度系数】
0.7
6.如图,将一张直角三角形 ABC 纸片沿斜边 AB 上的中线 CD 剪开,得到$△ ACD$,再将$△ ACD$沿 DB 方向平移到$△ A'C'D'$的位置,若平移开始后点$D'$未到达点 B 时,$A'C'$交 CD 于点 E,$D'C'$交 CB 于点 F,连接 EF,当四边形$EDD'F$为菱形时,试探究$△ A'DE$的形状,并判断$△ A'DE$与$△ EFC'$是否全等? 请说明理由.
答案
6.当四边形$EDD'F$为菱形时,$△ A'DE$是等腰三角形,$△ A'DE≌△ EFC'$.理由:$\because △ BCA$是直角三角形,$∠ ACB=90°$,$AD=DB$,$\therefore CD=DA=DB$,$\therefore ∠ DAC=∠ DCA$,$\because A'C'// AC$,$\therefore ∠ DA'E=∠ A$,$∠ DEA'=∠ DCA$,$\therefore ∠ DA'E=∠ DEA'$,$\therefore DA'=DE$,$\therefore △ A'DE$是等腰三角形.
∵四边形$EDD'F$是菱形,$\therefore EF=DE=DA'$,$EF// DD'$,$\therefore ∠ C'EF=∠ EA'D$,$∠ EFC'=∠ A'D'C'$,$\because CD// C'D'$,$\therefore ∠ A'DE=∠ A'D'C'=∠ EFC'$, 在$△ A' DE$ 和$△ EFC'$ 中,
$\begin{cases}∠ EA'D=∠ C'EF,\\A'D=EF,\\∠ A'DE=∠ EFC',\end{cases}$
$\therefore △ A'DE≌△ EFC'(\mathrm{ASA})$
∵四边形$EDD'F$是菱形,$\therefore EF=DE=DA'$,$EF// DD'$,$\therefore ∠ C'EF=∠ EA'D$,$∠ EFC'=∠ A'D'C'$,$\because CD// C'D'$,$\therefore ∠ A'DE=∠ A'D'C'=∠ EFC'$, 在$△ A' DE$ 和$△ EFC'$ 中,
$\begin{cases}∠ EA'D=∠ C'EF,\\A'D=EF,\\∠ A'DE=∠ EFC',\end{cases}$
$\therefore △ A'DE≌△ EFC'(\mathrm{ASA})$
解析
【分析】
解题时可分两个问题逐一突破：①判断△A'DE的形状：先借助直角三角形斜边中线的性质得到CD与AD、BD的等量关系，推出对应角相等，再结合平移后对应边平行的性质，得到△A'DE的两个内角相等，即可判定其形状；②判断三角形全等：先利用菱形的性质得到边相等和平行关系，再通过平行线的性质推导两组对应角相等，结合等边的条件，用全等判定定理验证即可。
【解析】
1. 判定△A'DE的形状：
∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线，
∴CD=DA=DB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴∠DAC=∠DCA。
∵△ACD沿DB方向平移得到△A'C'D'，
∴A'C'//AC，
∴∠DA'E=∠A，∠DEA'=∠DCA，
∴∠DA'E=∠DEA'，
∴DA'=DE，即△A'DE是等腰三角形。
2. 证明△A'DE≌△EFC'：
∵四边形EDD'F是菱形，
∴EF=DE=DA'，EF//DD'，
由平移性质可知CD//C'D'。
∵EF//DD'，
∴∠C'EF=∠EA'D，∠EFC'=∠A'D'C'，
∵CD//C'D'，
∴∠A'DE=∠A'D'C'，
∴∠A'DE=∠EFC'。
在△A'DE和△EFC'中：
$\begin{cases}∠ EA'D=∠ C'EF\\A'D=EF\\∠ A'DE=∠ EFC'\end{cases}$
∴△A'DE≌△EFC'（ASA）。
【答案】
△A'DE是等腰三角形，△A'DE≌△EFC'。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、菱形的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题属于几何综合题，融合了平移变换、特殊三角形性质、特殊四边形性质与全等判定多个考点，需要熟练掌握各几何性质的关联，通过角的等量代换推导边、角的对应关系来解题。
【难度系数】
0.6
解题时可分两个问题逐一突破：①判断△A'DE的形状：先借助直角三角形斜边中线的性质得到CD与AD、BD的等量关系，推出对应角相等，再结合平移后对应边平行的性质，得到△A'DE的两个内角相等，即可判定其形状；②判断三角形全等：先利用菱形的性质得到边相等和平行关系，再通过平行线的性质推导两组对应角相等，结合等边的条件，用全等判定定理验证即可。
【解析】
1. 判定△A'DE的形状：
∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线，
∴CD=DA=DB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴∠DAC=∠DCA。
∵△ACD沿DB方向平移得到△A'C'D'，
∴A'C'//AC，
∴∠DA'E=∠A，∠DEA'=∠DCA，
∴∠DA'E=∠DEA'，
∴DA'=DE，即△A'DE是等腰三角形。
2. 证明△A'DE≌△EFC'：
∵四边形EDD'F是菱形，
∴EF=DE=DA'，EF//DD'，
由平移性质可知CD//C'D'。
∵EF//DD'，
∴∠C'EF=∠EA'D，∠EFC'=∠A'D'C'，
∵CD//C'D'，
∴∠A'DE=∠A'D'C'，
∴∠A'DE=∠EFC'。
在△A'DE和△EFC'中：
$\begin{cases}∠ EA'D=∠ C'EF\\A'D=EF\\∠ A'DE=∠ EFC'\end{cases}$
∴△A'DE≌△EFC'（ASA）。
【答案】
△A'DE是等腰三角形，△A'DE≌△EFC'。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、菱形的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题属于几何综合题，融合了平移变换、特殊三角形性质、特殊四边形性质与全等判定多个考点，需要熟练掌握各几何性质的关联，通过角的等量代换推导边、角的对应关系来解题。
【难度系数】
0.6
7.如图,在菱形ABCD中,AB=4 cm,∠ADC=120°,点E,F同时由A,C两点出发,分别沿AB,CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1 cm/s,点F的速度为2 cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,则t的值为 (
A.1
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.2
C
)A.1
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.2
答案
7.C
解析
【分析】
首先利用菱形的性质，结合已知∠ADC=120°，可推出菱形四条边均为4cm，∠A、∠C都为60°；连接对角线BD后，可得到△ABD和△BCD都是等边三角形，因此BD=CD，∠EBD=∠C=60°。若△DEF为等边三角形，则∠EDF=60°，结合∠BDC=60°可推出∠EDB=∠FDC，进而证明△EDB和△FDC全等，最后根据全等三角形对应边相等列方程即可求出t的值。
【解析】
解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，
∴AB=BC=CD=AD=4cm，∠A=∠C=60°，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴BD=CD，∠EBD=∠C=60°，∠BDC=60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=60°，
∴∠EDF=∠BDC，
∴∠EDF-∠BDF=∠BDC-∠BDF，即∠EDB=∠FDC，
在△EDB和△FDC中：
$\{\begin{array}{l}∠EBD=∠C \\BD=CD \\∠EDB=∠FDC\end{array} $
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴EB=FC，
由题意得：AE=t cm，CF=2t cm，
∴EB=AB-AE=(4-t)cm，
∴$4-t=2t$，
解得$t=\frac{4}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是特殊平行四边形中的动点综合题，解题关键是通过连接对角线构造全等三角形，将动点的运动路程转化为全等三角形的对应边关系，进而列方程求解，考查了数形结合和转化的思想。
【难度系数】
0.6
首先利用菱形的性质，结合已知∠ADC=120°，可推出菱形四条边均为4cm，∠A、∠C都为60°；连接对角线BD后，可得到△ABD和△BCD都是等边三角形，因此BD=CD，∠EBD=∠C=60°。若△DEF为等边三角形，则∠EDF=60°，结合∠BDC=60°可推出∠EDB=∠FDC，进而证明△EDB和△FDC全等，最后根据全等三角形对应边相等列方程即可求出t的值。
【解析】
解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，
∴AB=BC=CD=AD=4cm，∠A=∠C=60°，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴BD=CD，∠EBD=∠C=60°，∠BDC=60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=60°，
∴∠EDF=∠BDC，
∴∠EDF-∠BDF=∠BDC-∠BDF，即∠EDB=∠FDC，
在△EDB和△FDC中：
$\{\begin{array}{l}∠EBD=∠C \\BD=CD \\∠EDB=∠FDC\end{array} $
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴EB=FC，
由题意得：AE=t cm，CF=2t cm，
∴EB=AB-AE=(4-t)cm，
∴$4-t=2t$，
解得$t=\frac{4}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是特殊平行四边形中的动点综合题，解题关键是通过连接对角线构造全等三角形，将动点的运动路程转化为全等三角形的对应边关系，进而列方程求解，考查了数形结合和转化的思想。
【难度系数】
0.6
8.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,且有一点P从B点沿着BD往D点移动,若过P点作AB的垂线交AB于E点,过P点作AD的垂线交AD于F点,则EF的长度最小值为
$\frac{24}{5}$
.答案
8.$\frac{24}{5}$
解析
【分析】
首先观察四边形AEPF的形状，因为PE垂直AB、PF垂直AD，且∠A是矩形的直角，所以四边形AEPF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得EF=AP，因此求EF的最小值可转化为求AP的最小值。点A到线段BD上点P的最短距离是点A到BD的垂线段长度，即当AP⊥BD时，AP最短，接下来用勾股定理求出BD长度，再用面积法求出垂线段AP的长度即可。
【解析】
解：连接AP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，AB=6，AD=8，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，∠BAD=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP，
根据垂线段最短可知，当AP⊥BD时，AP的长度最小，
此时△ABD的面积可表示为：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AB· AD=\frac{1}{2}· BD· AP$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×AP$，
解得$AP=\frac{24}{5}$，
∴EF的最小值为$\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题运用转化思想，将求EF的最小值转化为求点A到直线BD的垂线段长度，结合矩形性质、勾股定理和面积法求解，是特殊平行四边形中最值问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
首先观察四边形AEPF的形状，因为PE垂直AB、PF垂直AD，且∠A是矩形的直角，所以四边形AEPF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得EF=AP，因此求EF的最小值可转化为求AP的最小值。点A到线段BD上点P的最短距离是点A到BD的垂线段长度，即当AP⊥BD时，AP最短，接下来用勾股定理求出BD长度，再用面积法求出垂线段AP的长度即可。
【解析】
解：连接AP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，AB=6，AD=8，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，∠BAD=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP，
根据垂线段最短可知，当AP⊥BD时，AP的长度最小，
此时△ABD的面积可表示为：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AB· AD=\frac{1}{2}· BD· AP$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×AP$，
解得$AP=\frac{24}{5}$，
∴EF的最小值为$\frac{24}{5}$。
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题运用转化思想，将求EF的最小值转化为求点A到直线BD的垂线段长度，结合矩形性质、勾股定理和面积法求解，是特殊平行四边形中最值问题的典型考法。
【难度系数】
0.6
