例 2 观察：$\because 4 ＜ 7 ＜ 9$，$\therefore 2 ＜ \sqrt{7} ＜ 3$，$\therefore \sqrt{7}$的整数部分为$2$，小数部分为$\sqrt{7} - 2$.
(1) $\sqrt{51}$的整数部分是，$9 - \sqrt{51}$的小数部分是.
(2) 小明将一个长$10\mathrm{cm}$、宽$8\mathrm{cm}$的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，他想要裁剪出两个大小不同的正方形，使它们的边长之比为$4 : 3$，面积之和为$75\mathrm{cm}^2$. 小明能否裁剪出这两个正方形？若能，请求出这两个正方形的面积；若不能，请说明理由.
分析：(1) 根据$49 ＜ 51 ＜ 64$，可以得出$7 ＜ \sqrt{51} ＜ 8$，即可得到$\sqrt{51}$的整数部分和$9 - \sqrt{51}$的小数部分.
(2) 设大正方形的边长为$4x\mathrm{cm}$，则小正方形的边长为$3x\mathrm{cm}$，结合“面积之和为$75\mathrm{cm}^2$”这一条件列出方程，求解. 再用两个正方形的边长之和与$10$比较大小，即可判断能否裁出满足题意的正方形.
解：(1) $\because 49 ＜ 51 ＜ 64$，
$\therefore 7 ＜ \sqrt{51} ＜ 8$，$1 ＜ 9 - \sqrt{51} ＜ 2$.
$\therefore \sqrt{51}$的整数部分为$7$，$9 - \sqrt{51}$的小数部分为$8 - \sqrt{51}$.
(2) 设大正方形的边长为$4x\mathrm{cm}$，小正方形的边长为$3x\mathrm{cm}$.
$\because (4x)^2 + (3x)^2 = 75$，$\therefore x = \pm \sqrt{3}$.
$\because x ＞ 0$，$\therefore$小正方形的边长为$3\sqrt{3}\mathrm{cm}$，大正方形的边长为$4\sqrt{3}\mathrm{cm}$.
$\because 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 7\sqrt{3} = \sqrt{147} ＞ \sqrt{100} = 10$，
$\therefore$小明无法裁剪出这两个正方形.

(1)
$\because 49＜51＜64$，
$\therefore7＜\sqrt{51}＜8$，
$\therefore\sqrt{51}$的整数部分为$7$；
$\because7＜\sqrt{51}＜8$，
$\therefore - 8＜ - \sqrt{51}＜ - 7$，
$\therefore1＜9 - \sqrt{51}＜2$，
$\therefore9 - \sqrt{51}$的小数部分为$(9 - \sqrt{51}) - 1 = 8 - \sqrt{51}$；
(2)
设大正方形边长为$4x\mathrm{cm}$，小正方形边长为$3x\mathrm{cm}$。
由题意得$(4x)^{2}+(3x)^{2}=75$，
即$16x^{2}+9x^{2}=75$，
$25x^{2}=75$，
$x^{2}=3$，
解得$x = \pm\sqrt{3}$，
因为边长不能为负，则$x=\sqrt{3}$。
大正方形边长为$4\sqrt{3}\mathrm{cm}$，小正方形边长为$3\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
两个正方形边长之和为$4\sqrt{3}+3\sqrt{3}=7\sqrt{3}\approx7×1.732 = 12.124＞10$。
所以小明无法裁剪出这两个正方形。
故答案为：(1) $7$；$8 - \sqrt{51}$；(2) 不能。

变式：求小于$\sqrt{39}$的所有正整数之和.

解：$ \because 36 ＜ 39 ＜ 49 $，$ \therefore 6 ＜ \sqrt{39} ＜ 7 $。
即 $ \sqrt{39} $ 的整数部分为 6。
小于 $ \sqrt{39} $ 的正整数有 6，5，4，3，2，1，和为 21。