【例6】 计算。
(1)$\left (-\frac{1}{5}\right )^{-2}×(\sqrt{7})^{0}$。 (2)$(-3)^{4}÷3^{6}$。
(3)$\sqrt{4}-2×\left (\frac{1}{2}\right )^{-1}+|-3|+(\sqrt{2}-1)^{0}$。
解:(1)原式$=(-5)^{2}×1=25$。
(2)原式$=3^{-2}=\frac{1}{9}$。
(3)原式$=2-2×2+3+1=2$。
【评析】 负指数只与底数的数值有关,与底数的正负符号无关,同时注意计算的结果不能含有负整数指数幂。

解：
(1) $\left (-\frac{1}{5}\right )^{-2}×(\sqrt{7})^{0}$
$=\frac{1}{\left (-\frac{1}{5}\right )^{2}}×1$
$=\frac{1}{\frac{1}{25}}×1$
$=25×1$
$=25$
(2) $(-3)^{4}÷3^{6}$
$=3^{4}÷3^{6}$
$=3^{4-6}$
$=3^{-2}$
$=\frac{1}{3^{2}}$
$=\frac{1}{9}$
(3) $\sqrt{4}-2×\left (\frac{1}{2}\right )^{-1}+|-3|+(\sqrt{2}-1)^{0}$
$=2 - 2×\frac{1}{\left (\frac{1}{2}\right )^{1}} + 3 + 1$
$=2 - 2×2 + 3 + 1$
$=2 - 4 + 3 + 1$
$=2$

【例7】 如图,某市有一块长$(3a+b)$米,宽$(2a+b)$米的长方形地块,规划部门计划将阴影部分进行绿化,中间修建一座雕像,则绿化的面积是多少平方米?

解:$S_{绿化}=(2a+b)(3a+b)-(a+b)^{2}=(5a^{2}+3ab)$(平方米)
答:绿化的面积是$(5a^{2}+3ab)$平方米。
【评析】 这是一道涉及整式模型的实际应用题,运用数形结合的数学思想,利用整式乘法等运算,将图中隐含的数量关系用代数式表示出来,再利用公式加以计算。

解：
$S_{绿化}=(3a+b)(2a+b)-(a+b)^2$
$=6a^2+3ab+2ab+b^2-(a^2+2ab+b^2)$
$=6a^2+5ab+b^2-a^2-2ab-b^2$
$=5a^2+3ab$
答：绿化的面积是$(5a^2+3ab)$平方米。

【例8】 若$10^{m}=20,10^{n}=\frac{1}{5}$,求$9^{m}÷3^{2n}$的值。
解:因为$10^{m-n}=10^{m}÷10^{n}=20÷\frac{1}{5}=100=10^{2}$,所以$m-n=2$,
所以$9^{m}÷3^{2n}=3^{2m}÷3^{2n}=3^{2m-2n}=3^{2(m-n)}=3^{4}=81$。
【评析】 本题利用数的特殊性,巧妙运用逆向思维。

解：
因为$10^{m-n}=10^m÷10^n=20÷\frac{1}{5}=100=10^2$，
所以$m-n=2$。
则$9^m÷3^{2n}=3^{2m}÷3^{2n}=3^{2m-2n}=3^{2(m-n)}=3^{2×2}=3^4=81$。