5. 李老师新买了一个高档茶杯（如图），量得茶杯的底面直径是 $ 6 $ 厘米，高是 $ 15 $ 厘米。

（1）这个茶杯的容积是多少毫升？（茶杯的厚度忽略不计）
（2）做这样一个茶杯的包装盒（长方体）至少需要硬纸板多少平方厘米？

（1）底面半径：$6 ÷ 2 = 3$（厘米），
容积：$V = π r^2 h = 3.14 × 3^2 × 15 = 423.9 × = 423.9 \approx 423.9$（立方厘米），
$423.9$立方厘米 = $423.9$毫升。
这个茶杯的容积是$423.9$毫升。
（2）长方体的高为$15$厘米，长和宽为茶杯的直径$6$厘米，
表面积：$S = 2 × (6 × 6 + 6 × 15 + 6 × 15) = 2 × (36 + 90 + 90) = 2 × 216 = 432$（平方厘米）。
做这样一个茶杯的包装盒至少需要硬纸板$432$平方厘米。

七、思维提升。
有甲、乙两个圆柱形容器，从里面量得它们的底面半径分别为 $ 10 $ 厘米和 $ 5 $ 厘米，两个容器内分别盛有深 $ 10 $ 厘米和 $ 15 $ 厘米的水，现将乙容器中的一部分水倒入甲容器内，使得两个容器里的水面相平，这时水深为多少厘米？

1. 计算甲容器原有水体积：甲底面半径$r_甲=10$厘米，水深$h_甲=10$厘米，底面积$S_甲=π r_甲^2=π×10^2=100π$平方厘米，体积$V_甲=S_甲h_甲=100π×10=1000π$立方厘米。
2. 计算乙容器原有水体积：乙底面半径$r_乙=5$厘米，水深$h_乙=15$厘米，底面积$S_乙=π r_乙^2=π×5^2=25π$平方厘米，体积$V_乙=S_乙h_乙=25π×15=375π$立方厘米。
3. 水的总体积：$V_总=V_甲+V_乙=1000π+375π=1375π$立方厘米。
4. 设水面相平时水深为$h$厘米，此时甲体积$V_甲'=S_甲h=100π h$，乙体积$V_乙'=S_乙h=25π h$，则$V_甲'+V_乙'=V_总$，即$100π h+25π h=1375π$。
5. 化简得$125π h=1375π$，两边同除以$π$：$125h=1375$，解得$h=11$。
11厘米