22. 在数学中,为书写简便,18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“$\sum$”,如:记$\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+\dots+(n-1)+n$,$\sum_{k=3}^{n}(x+k)=(x+3)+(x+4)+\dots+(x+n)$,$\sum_{k=3}^{5}(x+k)=(x+3)+(x+4)+(x+5)$,已知$\sum_{k=2}^{n}[(x+k)(x-k+1)]=3x^2+3x+m$,则$m$的值为。

$\boldsymbol{-20}$

解：
先展开求和式的通项：
$(x+k)(x-k+1) = x^2 -kx +x +kx -k^2 +k = x^2 +x -k^2 +k$
等式右侧二次项系数为3，说明求和共有3项，k从2开始依次取2、3、4，因此n=4。
分别代入k=2、3、4计算各项：
当k=2时，$(x+2)(x-1)=x^2+x-2$
当k=3时，$(x+3)(x-2)=x^2+x-6$
当k=4时，$(x+4)(x-3)=x^2+x-12$
将三项相加：
$(x^2+x-2)+(x^2+x-6)+(x^2+x-12)=3x^2+3x-20$
对比$3x^2+3x+m$，可得$m=-20$。

23.如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为$(3a+b)$，宽为$(a+3b)$的大长方形，则需要C类卡片张数为。

$\boldsymbol{10}$

解：
计算大长方形的面积：
$\begin{aligned}(3a+b)(a+3b)&=3a· a + 3a· 3b + b· a + b· 3b\\&=3a^2 +9ab +ab +3b^2\\&=3a^2 +10ab +3b^2\end{aligned}$
由图可知，A类卡片面积为$a^2$，B类卡片面积为$b^2$，C类卡片面积为$ab$，因此C类卡片的张数为多项式中$ab$项的系数10。

24.下面是一道例题的部分解答过程,其中A,B是两个关于x,y的二项式。
例题:化简$y(A)+2x(B)$。
解:原式$=2xy+y^2+4x^2-2xy=$。(注意:运算顺序从左到右,逐个去掉括号)
请仔细观察上面的例题及解答过程,完成下列问题:
(1)多项式A为,多项式B为,例题的化简结果为;
(2)求多项式A与B的积。

解：
(1) 由去括号后的前两项得：$y· A=2xy+y^2$，因此$A=(2xy+y^2)÷ y=2x+y$；
由去括号后的后两项得：$2x· B=4x^2-2xy$，因此$B=(4x^2-2xy)÷ 2x=2x-y$；
合并同类项：$2xy+y^2+4x^2-2xy=4x^2+y^2$。
多项式$A$为$\boldsymbol{2x+y}$，多项式$B$为$\boldsymbol{2x-y}$，例题的化简结果为$\boldsymbol{4x^2+y^2}$。
(2) 计算$A$与$B$的积：
$\begin{aligned}A· B&=(2x+y)(2x-y)\\&=(2x)^2 - y^2\\&=4x^2 - y^2\end{aligned}$